Question

ПОМОГИТЕ СРОЧНО, ПРОШУ!!! В выпуклом четырехугольнике ABCD известно, что AB= 10,2, BC= 8, CD= 15, AD= 13,6 и BD= 17. Докажите, что около четырехугольника ABCD, можно описать окружность.

Answer 1

Поскольку в треугольнике ВСД справедлива теорема Пифагора: ВС²+СД²=ВД², то ∠С=90°.
В треугольнике ВАД тоже справедлива т.Пифагора: АВ²+АД²=ВД², следовательно, ∠А=90°.
Возвращаясь к четырёхугольнику АВСД, видим, что сумма противоположных углов А и С равна 180°, а на сумму углов В и Д припадает тоже 360°-180°=180°, т.е. выполняется необходимое и достаточное условие для возможности описать около данного четырёхугольника окружность, что и следовало доказать.

Answer 2

Для доказательства того, что около четырехугольника ABCD можно описать окружность, мы можем использовать теорему о вписанной окружности.

Теорема о вписанной окружности гласит: в любом выпуклом четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 градусам.

В нашем случае, мы можем рассмотреть углы A и C, и углы B и D, так как они являются противоположными.

В треугольнике ABC, по теореме косинусов, мы можем найти угол ABC:

cos(ABC) = (AB² + BC² - AC²) / (2 * AB * BC) cos(ABC) = (10.2² + 8² - AC²) / (2 * 10.2 * 8) cos(ABC) = (104.04 + 64 - AC²) / 163.2 cos(ABC) = (168.04 - AC²) / 163.2

Аналогично, в треугольнике BCD, мы можем найти угол BCD:

cos(BCD) = (BC² + CD² - BD²) / (2 * BC * CD) cos(BCD) = (8² + 15² - 17²) / (2 * 8 * 15) cos(BCD) = (64 + 225 - 289) / 240 cos(BCD) = 0

Теперь мы можем рассмотреть сумму углов BCD и ABC:

cos(ABC) + cos(BCD) = (168.04 - AC²) / 163.2 + 0 cos(ABC) + cos(BCD) = 168.04 / 163.2 - AC² / 163.2 cos(ABC) + cos(BCD) ≈ 1.029 - AC² / 163.2

Так как сумма углов ABC и BCD равна 180 градусам, то:

cos(ABC) + cos(BCD) = 1

Подставляя это в уравнение, получаем:

1 ≈ 1.029 - AC² / 163.2 AC² / 163.2 ≈ 1.029 - 1 AC² / 163.2 ≈ 0.029 AC² ≈ 0.029 * 163.2 AC² ≈ 4.7352 AC ≈ √4.7352 AC ≈ 2.18

Таким образом, получаем, что диагональ AC примерно равна 2.18.

Теперь мы можем рассмотреть диагональ BD. Если около четырехугольника ABCD можно описать окружность, то диагонали BD и AC должны быть перпендикулярны. То есть, произведение их длин должно быть равно:

AC * BD = 2.18 * 17 ≈ 36.94

Однако, по условию задачи, AC * BD = 2.18 * 17 = 37.06, что не является точным значением, равным 36.94.

Таким образом, мы получаем противоречие и можем сделать вывод, что около четырехугольника ABCD нельзя описать окружность.

Вывод: около четырехугольника ABCD нельзя описать окружность.