Question

Найдите все значения а, при которых неравенство (х-3а)(х-а-3)<0 выполняется при всех х таких, что 1*меньше или равно*х*меньше или равно*3.

Answer 1

Для начала решим неравенство (х-3а)(х-а-3)<0 при х≥1 и х≤3.

Рассмотрим каждую скобку неравенства (х-3а)(х-а-3) отдельно.

1) Рассмотрим скобку (х-3а). Для того чтобы это выражение было меньше нуля, необходимо и достаточно, чтобы один из множителей был положительным, а другой отрицательным. Если х≥1, то выражение (х-3а) будет положительным, если х>3а, и отрицательным, если х<3а. Таким образом, для х≥1 неравенство (х-3а)<0 выполняется при х<3а.

2) Рассмотрим скобку (х-а-3). Аналогично, чтобы это выражение было меньше нуля, необходимо и достаточно, чтобы один из множителей был положительным, а другой отрицательным. Если х≥1, то выражение (х-а-3) будет положительным, если х>а+3, и отрицательным, если х<а+3. Таким образом, для х≥1 неравенство (х-а-3)<0 выполняется при х<а+3.

Теперь объединим полученные результаты для обоих скобок.

1) Если х≥1, то (х-3а)<0 выполняется при х<3а и (х-а-3)<0 выполняется при х<а+3.

2) При х≥1 выполняется х≥3а и х≥а+3.

Таким образом, неравенство (х-3а)(х-а-3)<0 выполняется при всех х, таких что х≥1, х≥3а и х≥а+3.

Также из условия задачи известно, что 1≤х≤3. Поэтому рассмотрим два случая:

1) Если 1≤х≤3, то неравенство выполняется при всех значениях а, таких что х≥3а и х≥а+3.

2) Если х=1, то неравенство выполняется при всех значениях а, таких что 1≥3а и 1≥а+3.

Таким образом, все значения а, при которых неравенство (х-3а)(х-а-3)<0 выполняется при всех х таких, что 1≤х≤3, равны а≤1/3 и а≥-2.