Question

Приборы одного наименования изготовляются двумя заводами; первый завод поставляет 2/3 всех изделий, поступающих на производство; второй 1/3 . Надежность (вероятность безотказной работы) прибора, изготовленного первым заводом, равна р1 второго — р2. Определить полную (среднюю) надежность р прибора, поступившего на производство.

Answer 1

Множество элементарных событий $\Omega$ - множество исходов эксперимента "взять наугад один прибор", событие A - множество исходов, при которых данный прибор является безотказно работающим.
Надежность прибора, поступившего на производство есть вероятность того, что взятый наудачу прибор окажется безотказно работающим.
Воспользуемся формулой полной вероятности:
$\mathbb{P}(A)=\sum_{i=1}^{n}\mathbb{P}(A|B_i)$
где $\{B_i\}$ - полная группа попарно несовместных событий
В качестве $\{B_i\}$ возьмем множество, состоящее из 2 событий.
$B_1$ - прибор изготовил первый завод
$B_2$ - прибор изготовил второй завод
Видно, что $B_1$ и $B_2$ - несовместны, вероятность каждого из них ненулевая, их объединение совпадает с множеством элементарных событий, а значит данное множество удовлетворяет условиям формулы полной вероятности. Тогда:
$\mathbb{P}(A)={2\over3}p_1+{1\over3}p_2$

Answer 2

Пусть общее количество приборов, поступающих на производство, равно N. Тогда первый завод поставляет 2/3 от общего количества приборов, то есть 2/3 * N, а второй завод поставляет 1/3 от общего количества приборов, то есть 1/3 * N.

Приборы, изготовленные первым заводом, имеют надежность р1, а приборы, изготовленные вторым заводом, имеют надежность р2.

Так как надежность - это вероятность безотказной работы прибора, то вероятность отказа прибора, изготовленного первым заводом, равна 1 - р1, а вероятность отказа прибора, изготовленного вторым заводом, равна 1 - р2.

Теперь рассмотрим среднюю надежность прибора, поступившего на производство. Для этого нужно учесть, что приборы изготовлены двумя заводами в определенных пропорциях.

Средняя надежность р вычисляется по формуле:

р = (количество приборов, изготовленных первым заводом * надежность приборов первого завода + количество приборов, изготовленных вторым заводом * надежность приборов второго завода) / общее количество приборов.

Таким образом, р = (2/3 * N * р1 + 1/3 * N * р2) / N.

Упрощая выражение, получаем:

р = (2р1 + р2) / 3.

Таким образом, средняя надежность прибора, поступившего на производство, равна (2р1 + р2) / 3.