Question

НАЙТИ ПРОИЗВОДНУЮ xe^(y)+ye^(x)=xy

Answer 1

$xe^{y}+ye^{x}=xy\\\\e^{y}+xe^{y}\cdot y'+y'\cdot e^{x}+ye^{x}=y+xy'\\\\y'=\frac{y-ye^{x}-e^{y}}{xe^{y}+e^{x}-x}$

Answer 2

Для нахождения производной функции, данной уравнением xe^(y) + ye^(x) = xy, мы будем использовать правило дифференцирования сложных функций (chain rule) и неявное дифференцирование.

Правило дифференцирования сложных функций гласит, что производная композиции двух функций равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции.

Давайте обозначим функцию, заданную уравнением, как F(x, y) = xe^(y) + ye^(x) - xy.

Частные производные:

Для начала, найдем частные производные F по x и y. Частная производная по x (Fx) будет равна производной F по x при фиксированном значении y, а частная производная по y (Fy) будет равна производной F по y при фиксированном значении x.

Fx = e^(y) + ye^(x) - y Fy = xe^(y) + e^(x) - x

Имплицитное дифференцирование:

Теперь воспользуемся неявным дифференцированием, дифференцируя обе части уравнения по x и y.

Дифференцируя обе части уравнения по x, получим: d/dx(xe^(y) + ye^(x)) = d/dx(xy)

e^(y) + ye^(x) + x * e^(y) * dy/dx + y * e^(x) = y + x * dy/dx

Дифференцируя обе части уравнения по y, получим: d/dy(xe^(y) + ye^(x)) = d/dy(xy)

xe^(y) + e^(x) + x * e^(y) * dy/dy + e^(x) = x + x * dy/dy

Решение уравнения:

Теперь мы имеем два уравнения, полученные из неявного дифференцирования. Мы можем решить эту систему уравнений, чтобы найти значение dy/dx.

Соединяя оба уравнения, получим: e^(y) + ye^(x) + x * e^(y) * dy/dx + y * e^(x) = y + x * dy/dx xe^(y) + e^(x) + x * e^(y) * dy/dx + e^(x) = x + x * dy/dx

Перегруппируем и соберем все члены, содержащие dy/dx, в одну часть уравнения: x * e^(y) * dy/dx - x * dy/dx = y - ye^(x) - e^(y) x * e^(y) * dy/dx - dy/dx = y - ye^(x) - e^(y)

Теперь вынесем dy/dx за скобки и сократим его: (dy/dx) * (x * e^(y) - 1) = y - ye^(x) - e^(y)

И наконец, найдем значение dy/dx: dy/dx = (y - ye^(x) - e^(y)) / (x * e^(y) - 1)

Таким образом, мы нашли производную функции xe^(y) + ye^(x) = xy.