Question

Найдите значение производной y=f(x) в точке x нулевое:f(x) = 2*sin(x/2)+cos3x, x нулевое = pi/2f(x) = (3x^3-1)/(x+1) +1/4x^4, х нулевое = -2

Answer 1

$1) y`=2\cdot \frac{1}{2} cos\frac{x}{2}=cos\frac{x}{2},\\y`(\frac{\pi}{2})=cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}\\2) y`=\frac{9x^2(x+1)-(3x^3-1)}{(x+1)^2}=\frac{6x^3+9x^2+1}{(x+1)^2}\\y`(-2)=\frac{-48+36+1}{(-1)^2}=\frac{-11}{1}=-11$

Answer 2

Для нахождения значения производной функции y=f(x) в заданной точке x₀, необходимо взять производную функции и подставить значение x₀. Давайте рассмотрим каждую заданную функцию по отдельности и найдем их производные в указанных точках.

Функция f(x) = 2*sin(x/2) + cos(3x), x₀ = pi/2

Для нахождения производной этой функции, мы будем использовать правила дифференцирования для суммы и композиции функций.

1. Найдем производную первого слагаемого 2*sin(x/2): - Производная sin(x/2) равна cos(x/2) по правилу дифференцирования sin(x). - Учитывая константу 2, производная первого слагаемого равна 2*cos(x/2).

2. Найдем производную второго слагаемого cos(3x): - Производная cos(3x) равна -3*sin(3x) по правилу дифференцирования cos(x). - Учитывая константу 1, производная второго слагаемого равна -3*sin(3x).

3. Теперь найдем производную функции f(x) = 2*sin(x/2) + cos(3x): - Сложим производные двух слагаемых: f'(x) = 2*cos(x/2) - 3*sin(3x).

4. Подставим x₀ = pi/2 в полученную производную, чтобы найти значение производной в указанной точке: f'(pi/2) = 2*cos(pi/2/2) - 3*sin(3*pi/2) = 2*cos(pi/4) - 3*sin(3*pi/2).

Функция f(x) = (3x^3-1)/(x+1) + 1/4x^4, x₀ = -2

Для нахождения производной этой функции, мы также будем использовать правила дифференцирования для суммы и композиции функций.

1. Найдем производную первого слагаемого (3x^3-1)/(x+1): - Для удобства, разделим это слагаемое на две части: f₁(x) = 3x^3 - 1 и f₂(x) = x + 1. - Производная первой части f₁(x) равна 9x^2 по правилу дифференцирования x^n. - Производная второй части f₂(x) равна 1 по правилу дифференцирования x. - Применим правило дифференцирования для частного и получим: (f₁(x)/f₂(x))' = (9x^2 - 1)/(x + 1).

2. Найдем производную второго слагаемого 1/4x^4: - Производная 1/4x^4 равна x^3 по правилу дифференцирования x^n. - Учитывая константу 1/4, производная второго слагаемого равна (1/4)*x^3.

3. Теперь найдем производную функции f(x) = (3x^3-1)/(x+1) + 1/4x^4: - Сложим производные двух слагаемых: f'(x) = (9x^2 - 1)/(x + 1) + (1/4)*x^3.

4. Подставим x₀ = -2 в полученную производную, чтобы найти значение производной в указанной точке: f'(-2) = (9*(-2)^2 - 1)/(-2 + 1) + (1/4)*(-2)^3 = (9*4 - 1)/(-1) + (1/4)*(-8).

Таким образом, мы нашли значения производных для каждой из заданных функций в указанных точках.