Question

интеграл x^5+x^4-8/x^3+4x dx=

Answer 1

Выражение: x^5+x^4-8/x^3+4*x d*x

Ответ: x^5+x^4-8/x^3+4*x^2+4*d*x

Решаем по действиям:
1) 4*(x+d)=4*x+4*d
2) (4*x+4*d)*x=4*x^2+4*d*x
(4*x+4*d)*x=4*x*x+4*d*x
2.1) x*x=x^2
x*x=x^(1+1)
2.1.1) 1+1=2
+1
_1_
2

Решаем по шагам:
1) x^5+x^4-8/x^3+(4*x+4*d)*x
1.1) 4*(x+d)=4*x+4*d
2) x^5+x^4-8/x^3+4*x^2+4*d*x
2.1) (4*x+4*d)*x=4*x^2+4*d*x
(4*x+4*d)*x=4*x*x+4*d*x
2.1.1) x*x=x^2
x*x=x^(1+1)
2.1.1.1) 1+1=2
+1
_1_
2

Answer 2

Для решения данного интеграла, мы можем воспользоваться методом дробления на простейшие дроби. Для этого сначала разделим многочлен в числителе на многочлен в знаменателе, чтобы получить неполное частное и остаток.

x^5 + x^4 - 8 / x^3 + 4x = (x^2 - 4)(x^3 + 4x) + (16x - 8)

Теперь мы можем представить исходный интеграл в виде суммы двух интегралов:

∫ (x^2 - 4) dx + ∫ (16x - 8) / (x^3 + 4x) dx

Первый интеграл можно легко проинтегрировать:

∫ (x^2 - 4) dx = (1/3)x^3 - 4x + C1

Теперь рассмотрим второй интеграл. Мы можем провести частное интегрирование для дроби (16x - 8) / (x^3 + 4x). Для этого проведем дробление на простейшие дроби:

(16x - 8) / (x^3 + 4x) = A/x + B/(x^2 + 4)

Умножим обе стороны на (x^3 + 4x), чтобы избавиться от дроби в знаменателе:

16x - 8 = A(x^2 + 4) + Bx

Теперь можем найти значения A и B, подставив различные значения x и решив систему уравнений.

После нахождения коэффициентов A и B, мы можем проинтегрировать исходную дробь:

∫ (16x - 8) / (x^3 + 4x) dx = ∫ (A/x + B/(x^2 + 4)) dx

Интегрируя каждую из дробей по отдельности, получим:

A ln|x| + B arctan(x/2) + C2

Теперь мы можем объединить результаты интегрирования двух частей исходного интеграла:

(1/3)x^3 - 4x + A ln|x| + B arctan(x/2) + C

Где C = C1 + C2 - константа интегрирования.

Таким образом, мы получили окончательное выражение для интеграла.