Question

Помогите с самостоятельной работой пожалуйста!) 1.​ Обчисліть відстань від середини відрізка AB до точки М, якщо А(-3; 2; 1), В (-1; 4; 3), М (1; 0; -1). 2.​ Знайдіть координати точки, яка лежить на осі ординат і рівновіддалена від точок А(1; 2; -3), В (-2; 1; 5). 3.​ Обчисліть довжину медіани ВМ трикутника АВС, якщо А(4; 0; -8), В (2; 0; 3), С (16; 2; 8). 4.​ Точки В(-5; 7; 4), С (1; 5; 2), D (9; -3; -4) є вершинами паралелограма АВСD. Знайдіть координати вершини А. 5.​ Знайдіть координати точки, у яку перейде точка В (1; -2; 3) у результаті послідовного виконання симетрії відносно початку координат та паралельного перенесення, яке переводить точку А (-4; 5; 6) у точку А1 (-7; 2; 9).

Answer 1

1) Прямая AB задана двумя точками: A(-3,  2,  1)B(-1,  4,  3)  Задана точка M(1,  0,  -1) 
Проекция точки M на прямую AB имеет координаты K(xk, yk, zk)xk = -36 / 12 = -3 = -3
yk = 24 / 12 = 2 = 2
zk = 12 / 12 = 1 = 1
|MK| = sqrt(3456) / 12 = 4.89897948556636
Это расстояние было найдено по формуле: |MK| = sqrt((xk-xm)^2+(yk-ym)^2+(zk-zm)^2)
Координаты векторов AB, AM равны: AB = (2,  2,  2),  AM = (4,  -2,  -2).
Координаты векторного произведения AB и AM [ABxAM] = (0,  12,  -12).
Модуль векторного произведения AB и AM |[ABxAM]| = sqrt(288) = 16,9705627484771
Длина отрезка AB|AB| = sqrt(12).
Расстояние от точки M до прямой AB вычисляется по формуле |MK| = |[ABxAM]| / |AB|
|MK| = sqrt(288 / 12) = 2 * sqrt(6) = 4,89897948556636.
Ответ: Координаты проекции точки M на прямую AB
K(-3,  2,  1)
Расстояние от точки S до прямой AB:
|MK| = 2 * sqrt(6).

2) А(1; 2; -3), В (-2; 1; 5)
 Для того, чтобы на оси ординат найти точку, равноудаленную от точек А и В, надо найти точку пересечения плоскости, проведенную через точку К перпендикулярно вектору АВ (А;В;С), с осью У.
Уравнение такой плоскости имеет вид:
А(Х-Хк) + В(У-Ук) + С(Z-Zк) = 0.
АВ = (-2-1=-3; 1-2=-1; 5-(-3)=8).
АВ =(-3; -1; 8).
 Находим координаты точки К - середины отрезка АВ:
Хк = (Ха+Хв)/2 = (1-2)/2 = -1/2.
Ук = (Уа+Ув)/2 = (2+1)/2 = 3/2.
Zk = (Zа+Zв)/2 = ((-3)+5)/2 = 1.
К = (-1/2;3/2;1).

Плоскость КУ = -3(X-(-1/2)) - (Y-(3/2)) + 8(Z-1) = 0
При пересечении этой плоскостью оси У координаты Х и Z равны 0.
Тогда КУ = -3/2 - У + 3/2 - 8 = 0
У = -8.
Это и есть координата на оси У точки, равноудаленной от точек A и В.  

3.​ Обчисліть довжину медіани ВМ трикутника АВС, якщо А(4; 0; -8), 
В (2; 0; 3), С (16; 2; 8). Координаты точки М как середины отрезка АС: М = ((4+16)/2=10; (0+2)/2=1; (-8+8)/2=0). М =(10; 1; 0) Длина медианы ВМ = √(10-2)²+(1-0)²+(0-3))²) = √(64+1+9) = √74 = 8.60233.    

4.​ Точки В(-5; 7; 4), С (1; 5; 2), D (9; -3; -4) є вершинами паралелограма АВСD. Знайдіть координати вершини А.
Находим координаты точки К - середины отрезка ВД:
Хк = (Хв+Хд)/2 = (-5+9)/2 = 2.
Ук = (Ув+Уд)/2 = (7+(-3))/2 = 2.
Zk = (Zв+Zд)/2 = (4-4)/2 = 0.
К = (2;2;0;).
Точка А симметрична точке С относительно точки К (это середина диагонали АС параллелограмма АВСД).
Ха = 2Хк - Хс = 2*2 - 1 = 3.
Уа = 2Ук - Ус = 2*2 - 5  = -1.
Zа = 2Zк - Zс = 2*0 - 2  = -2.
А = (3;-1;-2).

Answer 2

1. Для нахождения расстояния от середины отрезка AB до точки M используем формулу для вычисления расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

D = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)

Где (x1, y1, z1) - координаты точки A, (x2, y2, z2) - координаты точки B, а (x, y, z) - координаты точки M.

Подставляем значения координат точек:

D = √((-1 - (-3))^2 + (4 - 2)^2 + (3 - 1)^2) D = √((-1 + 3)^2 + (4 - 2)^2 + (3 - 1)^2) D = √(2^2 + 2^2 + 2^2) D = √(4 + 4 + 4) D = √12 D = 2√3

Таким образом, расстояние от середины отрезка AB до точки M равно 2√3.

2. Для нахождения точки, которая лежит на оси ординат и равноудалена от точек A и B, найдем середину отрезка AB и проведем перпендикуляр к оси ординат через эту середину. Точка пересечения этого перпендикуляра с осью ординат и будет искомой точкой.

Сначала найдем середину отрезка AB:

x = (1 - 2) / 2 = -0.5 y = (2 + 1) / 2 = 1.5 z = (-3 + 5) / 2 = 1

Таким образом, координаты середины отрезка AB равны (-0.5, 1.5, 1).

Теперь построим перпендикуляр к оси ординат через эту точку:

Таким образом, искомая точка имеет координаты (0, 1.5, 1).

3. Для нахождения длины медианы BM треугольника ABC воспользуемся формулой для вычисления расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

D = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)

Где (x1, y1, z1) - координаты точки B, (x2, y2, z2) - координаты точки M.

Подставляем значения координат точек:

D = √((2 - 4)^2 + (0 - 0)^2 + (3 - (-8))^2) D = √((-2)^2 + 0^2 + (3 + 8)^2) D = √(4 + 0 + 121) D = √125

Таким образом, длина медианы BM треугольника ABC равна √125.

4. Для нахождения координат вершины A параллелограмма ABCD воспользуемся тем фактом, что диагонали параллелограмма делят друг друга пополам. Таким образом, координаты вершины A будут равны координатам точки D, так как она диагонально противоположна точке B.

Таким образом, координаты вершины A равны (9, -3, -4).

5. Для нахождения координат точки, в которую перейдет точка B(1, -2, 3) в результате последовательного выполнения симметрии относительно начала координат и параллельного перенесения, найдем сначала координаты точки B после симметрии относительно начала координат:

B1(x, y, z) = (-1, 2, -3)

Теперь найдем координаты точки B1 после параллельного перенесения, которое переводит точку A(-4, 5, 6) в точку A1(-7, 2, 9):

B2(x, y, z) = B1(x, y, z) + A1(-A) = (-1, 2, -3) + (-4, 5, 6) - (-7, 2, 9) = (-1 - (-4) + 7, 2 - 5 + 2, -3 - 6 + 9) = (2, -1, 0)

Таким образом, координаты точки, в которую перейдет точка B после последовательного выполнения симметрии относительно начала координат и параллельного перенесения, равны (2, -1, 0).