Question

Двое играющих по очереди увеличивают натуральное число так, чтобы при каждом увеличении разность между новым и старым значениями числа была бы больше нуля, но меньше старого значения. Начальное значение числа равно 2. Выигравшим считается тот, в результате хода которого получится 2012. Кто выигрывает при правильной игре: начинающий или его партнёр? Найдите сумму всех выигрышных позиций (2012 мы тоже считаем выигрышной).

Answer 1

Назовем состоянием количество очков до хода игрока. Состояние выигрышно, если приводит к выигрышу игрока, чей сейчас ход, и проигрышно иначе.

Все состояния от 1007 до 2011 с очевидностью выигрышные (до 2012 остаётся только один ход).
1006 - проигрышное (любым ходом переходим в выигрышное состояние 1007 - 2011).
Состояния 504 - 1005 - выигрышные (можно следующим ходом перевести игру в проигрышное состояние 1006).
503 - проигрышное (дальше выигрышные 504 - 1005).
252 - 502 - выигрышные (дальше в 503).
251 - проигрышное (252 - 501)
126 - 250 - выигрышные (дальше в 251).
Можно и дальше так выписывать, но можно сразу написать, что дальше проигрышные состояния 125, 62, 31, 15, 7, 3.

Дальше остаётся заметить, что выигрышные позиции (которые нужно найти по условию) - это проигрышные состояния.
Сумма выигрышных позиций = 2012 + 1006 + 503 + 251 + 125 + 62 + 31 + 15 + 7 + 3 = 4015.

Т.к. 2 - выигрышное состояние, то выигрывает первый игрок.

Answer 2

Rules of the Game

In this game, two players take turns increasing a natural number in such a way that the difference between the new and old values of the number is greater than zero but less than the old value. The initial value of the number is 2. The player who reaches the number 2012 wins. The question is, who wins if both players play optimally, and what is the sum of all winning positions?

Analysis and Solution

To determine the winner and the sum of all winning positions, we can analyze the game and find a pattern. Let's consider the possible moves and their outcomes.

Starting from 2, the first player can choose any number greater than 2 but less than the current value. Let's call this number x. The second player can then choose any number greater than x but less than the current value. Let's call this number y. The game continues in this manner until one of the players reaches 2012.

To find the winning strategy, we need to determine if there is a pattern in the game that allows one player to force a win. Let's analyze the first few moves:

- First move: Player 1 chooses x. - Second move: Player 2 chooses y.

At this point, we can observe that Player 1 can always choose a number that is one less than the number chosen by Player 2. This ensures that Player 1 will always be the one to reach 2012 first. Therefore, Player 1 wins the game.

To find the sum of all winning positions, we need to calculate the sum of all the numbers chosen by Player 1. Since Player 1 always chooses a number one less than the number chosen by Player 2, we can calculate the sum using the formula for the sum of an arithmetic series.

The formula for the sum of an arithmetic series is:

S = (n/2)(a + l)

Where: - S is the sum of the series, - n is the number of terms in the series, - a is the first term, and - l is the last term.

In this case, the first term is 2, and the last term is 2011 (since Player 1 reaches 2012). The number of terms, n, can be calculated as the difference between the last term and the first term plus 1.

Using the formula, we can calculate the sum of all winning positions:

S = (2011/2)(2 + 2011) = 2011 * 1006 = 2,023,066

Therefore, the sum of all winning positions is 2,023,066.

Conclusion

In the game described, the first player wins if both players play optimally. The sum of all winning positions is 2,023,066.