Question

Найдите наименьший корень уравнения принадлежащий отрезку U ≤ x ≤ 8. Пожалуйста с объяснением, если можно. Спасибо

Answer 1

Вообще, уравнение проще решить графическим способом, но для анализа функции её хорошо бы продифференцировать.
Поскольку задача указана для средней школы, то решим задачу в лоб, что длиннее.
Для начала нужно выкинуть cos из уравнения, чтобы можно было заменой уйти от тригонометрических функций.
$sin \frac{ \pi x}{4} + cos \frac{ \pi x}{4} = sin \frac{ \pi x}{4} +\sqrt{1-sin^{2}\frac{ \pi x}{4} } =$ /Замена $y=sin \frac{ \pi x}{4}$ /
=$y+ \sqrt{1-y^{2} } =U=>\sqrt{1-y^{2} } =1-y^{2} + U -1=>$ /Замена $z=\sqrt{1-y^{2} }$/
=> $z=z^{2} +U-1=>$
=>$z^{2}-z +U-1=0 => D=b^{2} -4ac=1+4(U-1)=$
В случае, если $D \geq 0,$ то уравнение имеет решение.
=> При $4U-3 \geq 0 => U \geq \frac{3}{4}$;
То есть при$U <\frac{3}{4}$, решений нет.
$z_{1,2} = \frac{-b +/- \sqrt{D} }{2a} =\frac{-1 +/- \sqrt{4U-3} }{2}$
Поскольку z - это корень, то по определению корня это неотрицательное число => $z = \frac{\sqrt{4U-3} -1}{2}=\sqrt{1-y^{2}}$


=> $\sqrt{4U-3} -1=2\sqrt{1-y^{2}}=>(\sqrt{4U-3} -1)^2=4(1-y^{2})$
=> $4U-3-2\sqrt{4U-3} +1=4-4y^{2} => 4y^{2} = 6-4U +2 \sqrt{4U-3}$
=> $y = \frac{\sqrt{6-4U +2 \sqrt{4U-3}}}{2}$
При этом должно выполняться неравенство $\sqrt{6-4U +2 \sqrt{4U-3}} \geq 0$, иначе корней нет. Пометим это выражение (1*)


$y=sin \frac{ \pi x}{4}=\frac{\sqrt{6-4U +2 \sqrt{4U-3}}}{2}[$
Решения есть, если $-1\leq \frac{\sqrt{6-4U +2 \sqrt{4U-3}}}{2} \leq 1$

=> $\frac{ \pi x}{4}=(-1)^k arcsin(\frac{\sqrt{6-4U +2 \sqrt{4U-3}}}{2})+/pi k$, где k принадлежит Z
=> $x=\frac{4}{ \pi }( (-1)^k arcsin(\frac{\sqrt{6-4U +2 \sqrt{4U-3}}}{2})+/pi k)$
=> $x=\frac{4}{ \pi }(-1)^k arcsin(\frac{\sqrt{6-4U +2 \sqrt{4U-3}}}{2})+\frac{4}{ \pi } /pi k$
=> $x=\frac{4}{ \pi }(-1)^k arcsin(\frac{\sqrt{6-4U +2 \sqrt{4U-3}}}{2})+4 \sqrt{/pi} k$
Поскольку мы ищем наименьший корень, то  что числитель должен быть наименьшим при минимальном k либо максимальным при минимальном k, найденные числа необходимо сравнить => Найдём сначала наименьшее значение
Выражение$\frac{\sqrt{6-4U +2 \sqrt{4U-3}}}{2}$ должно быть наименьшим
=> Выражение$\sqrt{6-4U +2 \sqrt{4U-3}}$должно быть наименьшим
=> Выражение$6-4U +2 \sqrt{4U-3}$должно быть наименьшим
$6-4U +2 \sqrt{4U-3}=$/Замена k=4U-3/$=3-k^2 +2 k= -k^2+2k+3$
Это формула параболы с ветвями, направленными вниз с вершиной при k=1. При этом вспомним, что в выражении (1*) мы требуем, чтобы данное выражение было $\geq 0$
=> Наименьших значений это выражение будет достигать в точках пересечения с 0
=> $D/4=m^2-ac= 1+3=4=2^2 =>k_{1,2} = \frac{-m+/-D/4}{a}= \frac{1+/-2}{1}$
$k_{1} =-1; k_{2} =3; => 4U_{1}-3=-1 => U_{1}=1/2$
=>$4U_{2}-3=3 => U_{2} = 3/2;$
Поскольку у нас ограничения для $U\geq\frac{3}{4}$, то минимальное значение будет достигаться при U=3/2;
Проверим это значение U ещё вот по этому ограничению :
$\sqrt{6-4U +2 \sqrt{4U-3}}=\sqrt{2\sqrt{3}} > 0$
=> $x=\frac{4}{ \pi }(-1)^k arcsin(\frac{\sqrt{2\sqrt{3}}}{2})+4 \sqrt{/pi} k$
$x \geq \frac{3}{2}$ - это следует из условий задачи
=> k=1 => $x=\frac{4}{ \pi }(-1) arcsin(\frac{\sqrt{2\sqrt{3}}}{2})+4 \sqrt{/pi}$ (11)
Вообще, нужно ещё доказать, что минимальное значение арксинуса в сумме с слагаемым при k=1 меньше, чем максимальное значение арксинуса при k=0.
Арксинус максимален в вершине параболы описывающей его числетель => U=1 => $x=\frac{4}{ \pi } arcsin(\frac{\sqrt{6-4 +2 \sqrt{4-3}}}{2})$
=> $x=\frac{4}{ \pi } arcsin(\frac{\sqrt{4}}{2})$
=> $x=\frac{4}{ \pi } arcsin(1) = \frac{4 \pi}{ 2\pi }=2$

Теперь определим, которое из чисел меньше. Вычтем из x (11) 2:
$\frac{4}{ \pi }(-1) arcsin(\frac{\sqrt{2\sqrt{3}}}{2})+4 \sqrt{/pi} -2=$
=$x=\frac{4}{ \pi }(-1) arcsin(\frac{\sqrt{2\sqrt{3}}}{2})+4 \sqrt{/pi} -2$
/Для упрощения оценки допустим, что арксинус достигает своего максимального значения = $\frac{ \pi }{2}$, /
=$x=\frac{4 \pi}{ 2\pi }(-1) +4 \sqrt{/pi} -2=4 \sqrt{/pi}-4>0$
Следовательно x=2 - это минимальный корень из всех возможных.
Ответ: x=2

Просто кошмар, это решение стоит намного больше, чем 5 баллов.
Прилагаю график, на котором изображена функция tex]sin \frac{ \pi x}{4} + cos \frac{ \pi x}{4}[/tex], а также y=x, которая служит ограничением по условиям задачи

Answer 2

Finding the Smallest Root of the Equation

To find the smallest root of the equation within the interval U ≤ x ≤ 8, we can use a combination of algebraic manipulation and numerical methods. Let's proceed step by step.

First, we need to define the equation that we are working with. Could you please provide the specific equation for which we need to find the smallest root?