Question

Решите неравенство (x-4)/(x+3)< (2x-1)/x

Answer 1

Надо преобразовать числитель в произведение, а потом решить методом интервалов

х-4х²=х(1-4х)= -х(4х-1)

 -х(4х-1) /х-1>0  ОДЗ: х≠1

х(4х-1) /х-1 <0                               + + + + + + + +         - - - - - -            + + + + + +

  Нули ф-ции: х=0 и х=1/4      -----------------------(0)-------------(1/4)--------------- 

х∈(0, 1/4)

Комментарии

Answer 2

Для начала решим данное неравенство. Чтобы решить неравенство вида \(\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\), нужно перейти к общему знаменателю и сравнить числители. После этого найдем интервалы, в которых неравенство выполнено.

Нахождение общего знаменателя:

Для неравенства \(\frac{x-4}{x+3} < \frac{2x-1}{x}\) общим знаменателем будет \(x(x+3)\).

Приведение неравенства к общему знаменателю:

Умножим левую и правую части неравенства на \(x(x+3)\): \[x(x+3) \cdot \frac{x-4}{x+3} < x(x+3) \cdot \frac{2x-1}{x}\]

Упрощение:

\[x(x-4) < (2x-1)(x+3)\]

Раскрытие скобок:

\[x^2 - 4x < 2x^2 + 6x - x - 3\]

Упрощение:

\[x^2 - 4x < 2x^2 + 5x - 3\]

Перенос всех членов в одну часть неравенства:

\[0 < 2x^2 + 5x - 3 - x^2 + 4x\]

Упрощение:

\[0 < x^2 + 9x - 3\]

Решение квадратного уравнения:

Теперь решим квадратное уравнение \(x^2 + 9x - 3 = 0\) с помощью дискриминанта: \[D = 9^2 - 4*1*(-3) = 81 + 12 = 93\]

Нахождение корней:

\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 \pm \sqrt{93}}{2}\]

Таким образом, корни квадратного уравнения \(x^2 + 9x - 3 = 0\) равны: \[x_1 = \frac{-9 + \sqrt{93}}{2},\] \[x_2 = \frac{-9 - \sqrt{93}}{2}.\]

Построение интервалов:

Теперь возьмем три точки на числовой прямой: \(x_1\), \(x_2\), и точку между ними, например \(x = 0\), и проверим неравенство в каждом интервале.

Проверка интервалов:

1. При \(x < \frac{-9 - \sqrt{93}}{2}\) неравенство выполняется. 2. При \(\frac{-9 - \sqrt{93}}{2} < x < \frac{-9 + \sqrt{93}}{2}\) неравенство не выполняется. 3. При \(x > \frac{-9 + \sqrt{93}}{2}\) неравенство выполняется.

Ответ:

Таким образом, решением исходного неравенства \(\frac{x-4}{x+3} < \frac{2x-1}{x}\) является множество значений \(x\), удовлетворяющих условиям: \[x < \frac{-9 - \sqrt{93}}{2},\] \[x > \frac{-9 + \sqrt{93}}{2}.\]