Question

22 футболиста сыграли три тренировочных игры( разбиваясь каждый раз на два состава по 11 человек). Докажите ,что какие то два футболиста все три раза были соперниками

Answer 1

Пусть прошла первая игра.
Выберем футболиста А. У него 11 соперников. В следующей игре , чтобы у него не было повторяющегося соперника, он должен играть в команде с 10-ю игроками , бывшими соперниками в предыдущей игре.

Остался один прежний соперник.
Такая ситуация происходит с каждым игроком. Значит таких "прежних соперников" 11 (они обязаны быть разными). Значит на третью игру 10 игроков не бывшими соперниками ни одному члену команды не наберется.

Answer 2

Давайте предположим, что какие-то два футболиста, назовем их A и B, не играли друг против друга ни в одной из трех тренировочных игр. Это означает, что A и B были в разных составах во всех трех играх.

Теперь давайте рассмотрим, какие футболисты могут быть в одном составе с A в каждой из трех игр. Поскольку в каждой игре было по 11 человек в каждом составе, то в первой игре A играл с 10 другими футболистами, во второй игре - с другими 10 футболистами и в третьей игре - с еще другими 10 футболистами.

Таким образом, общее количество футболистов, с которыми играл A в течение трех игр, составляет 30 футболистов. Но по условию задачи всего было 22 футболиста. Это означает, что два футболиста, которые не играли друг против друга ни в одной из трех игр, не могут существовать.

Таким образом, мы доказали, что какие-то два футболиста должны были быть соперниками во всех трех тренировочных играх.