Question

В треугольнике ABC сторона AC=30, медианы AM и CN соответственно равны 39 и 42. Найдите площадь АВС.

Answer 1

Пусть точка пересечения медиан - это точка Д.
В этой точке медианы делятся в отношении 2:1 считая от вершины.
АД = 39*(2/3) = 26, ДМ = 39/3 = 13.
СД = 42*(2/3) = 28, ДN = 42/3 = 14.
В треугольнике АДС по теореме косинусов определяем косинус угла АДС:
cos ADC = (26² + 28² - 30²)/(2*26*28) = 560/1456 = 5/13.
Косинусы смежных углов ADN и СДМ равны -cos АДС = -5/13.
По теореме косинусов находим отрезки АN и СМ как стороны треугольников АДN и СДМ.
СМ = √(28² + 13² - 2*28*13*(-5/13)) = √1233 = 3√137.
AN = √(26² + 14² - 2*26*14*(-5/13)) = √1152 = 24√2.
Стороны АВ и ВС в 2 раза больше найденных отрезков.
АВ = 2*24√2 = 48√2.
ВС = 2*3√137 = 6√137.
Теперь имеем длины всех сторон треугольника АВС и по формуле Герона находим его площадь.
S =√(p(p-a)(p-b)(p-c)). Полупериметр р = 84,055225.
Подставив значения р и длин сторон, находим:
S = 1008 кв.ед.

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться формулой для площади треугольника через медиану: S = (4/3) * √(p * (p - m1) * (p - m2) * (p - m3)), где m1, m2, m3 - медианы, p - полупериметр треугольника.

Найдем сначала полупериметр треугольника ABC: p = (AB + BC + AC) / 2, p = (AB + BC + 30) / 2.

Теперь найдем стороны треугольника через медианы: AM = 39, CN = 42.

Так как медиана делит сторону пополам, то AM = BM = 39, CN = BN = 42. Таким образом, сторона AB = 2 * BM = 2 * 39 = 78, сторона BC = 2 * CN = 2 * 42 = 84.

Теперь можем найти полупериметр: p = (78 + 84 + 30) / 2, p = 192 / 2, p = 96.

Теперь можем найти площадь треугольника: S = (4/3) * √(96 * (96 - 39) * (96 - 42) * (96 - 30)), S = (4/3) * √(96 * 57 * 54 * 66), S = (4/3) * √(1025472), S ≈ (4/3) * 1012, S ≈ 1349.33.

Итак, площадь треугольника ABC примерно равна 1349.33 квадратных единиц.