Question

Треугольник ABC задан вершинами A=(1,2),B=(2,-2),C=(6,1). Найти угол между высотой CD и медианой BM

Answer 1

Уравнение прямой проходящей через две точки с координатами (х₁;у₁) и (х₂;у₂)  имеет вид:

(x-x₁)/(x₂-x₁)=(y-y₁)/(y₂-y₁)                                                                                                                          Уравнение прямой АВ:

(x-1)/(2-1)=(y-2)/(-2-2)    или  -4(х-1)=у-2     или  4х+у-6=0.                          n₁(4;1)- нормальный вектор прямой АВ.
Координаты нормального вектора прямой СD  легко подбираются устно:  n₂=(-1;4).
У  перпендикулярных прямых нормальные векторы ортогональны, значит их скалярное произведение должно быть равно 0. 

n₁· n₂=4·(-1)+1·4=0
Уравнение прямой, перпендикулярной  прямой АВ имеет вид:  -х+4у+k=0   

Подставляем координаты точки С(6;1) для нахождения  k.     

 -6+4+k=0   ⇒  k=2. Уравнение прямой СD:  -x +4y+2=0

Координаты точки М - середины отрезка АС:

 х=(1+6)/2=3,5, у=(2+1)/2=1,5.
М(3,5; 1,5)
Уравнение прямой ВМ как прямой, проходящей через две точки, заданные своими координатами,

имеет вид: (x-2)/(3,5-2)=(y+2)/(1,5+2) или  3,5(х-2)=1,5(у+2)  или  7х-3у-20=0.

Нормальный вектор прямой ВМ  n₃=(7;-3).

Угол между прямыми СD и ВМ равен углу между их нормальными векторами n₂(-1;4) и n₃(7;-3).
сos α= n₂ ·n₃/ | n₂|·| n₃|=((-1) ·7+4·(-12))/ √((-1)2+42) ·√(72+(-3)2)=

=-19/√(17) ·√(58).
α=arccos( -19/√(17) ·√(58))=π-arccos( 19/√(17) ·√(58))

 это тупой угол, а смежный с ним острый.

В ответе берут острый угол.

 О т в е т.arccos( 19/√(17) ·√(58))

Answer 2

Для того чтобы найти угол между высотой CD и медианой BM в треугольнике ABC, нам нужно сначала найти координаты вершины D и точки M, а затем использовать их для вычисления угла.

1. Найдем координаты вершины D, которая является основанием высоты, проходящей через вершину C. Для этого мы можем использовать уравнение прямой, проходящей через точку C и перпендикулярной стороне AB. Уравнение этой прямой можно найти сначала найдя коэффициент наклона стороны AB, а затем используя его для получения уравнения перпендикулярной прямой.

Коэффициент наклона стороны AB: m_AB = (y_B - y_A) / (x_B - x_A) = (-2 - 2) / (2 - 1) = -4

Теперь мы можем найти коэффициент наклона прямой, перпендикулярной AB: m_CD = -1 / m_AB = -1 / (-4) = 1/4

Теперь мы можем использовать уравнение прямой в форме y = mx + b, чтобы найти координаты точки D: 2 = (1/4) * 6 + b 2 = 3/2 + b b = 2 - 3/2 b = 1/2

Таким образом, координаты точки D равны D(6, 1/2).

2. Теперь найдем координаты точки M, которая является серединой стороны AC. Для этого мы можем использовать формулу для нахождения середины отрезка, которая гласит, что координаты точки M равны среднему значению координат концов отрезка: M((x_A + x_C)/2, (y_A + y_C)/2) = ((1 + 6)/2, (2 + 1)/2) = (7/2, 3/2)

3. Теперь у нас есть координаты точек D и M, и мы можем использовать их для вычисления угла между высотой CD и медианой BM. Для этого мы можем использовать формулу для нахождения угла между двумя прямыми в декартовой системе координат: tan(угол) = |(m1 - m2) / (1 + m1 * m2)|

Где m1 и m2 - это коэффициенты наклона прямых, проходящих через точки D и M соответственно.

Коэффициент наклона прямой DM: m_DM = (3/2 - 1/2) / (7/2 - 6) = 1 / 1/2 = 2

Теперь мы можем вычислить угол: tan(угол) = |(1/4 - 2) / (1 + 1/4 * 2)| = |(-7/4) / (9/4)| = 7/9

Отсюда можно найти угол: угол = arctan(7/9)

Таким образом, угол между высотой CD и медианой BM в треугольнике ABC равен arctan(7/9).