Question

Найдите точку максимума функции y=(15-x)√x

Answer 1

Y`=(15-x)`*√x+(15-x)*(√x)`=-√x+(15-x)/2√x=(-2x+15-x)/2√x=(15-3x)/2√x=0
3x=15
x=5
             +            _
--------------(5)-------------
               max
ymax=(15-5)*√5=10√5

Answer 2

Для нахождения точки максимума функции y = (15 - x)√x, мы должны найти значение x, которое максимизирует значение y. Для этого мы можем использовать метод дифференцирования.

Дифференцирование функции

Давайте начнем с нахождения производной функции y по переменной x. Затем мы приравняем эту производную к нулю и решим полученное уравнение для x.

Для начала, давайте выразим функцию y в виде произведения двух функций:

y = (15 - x)√x = (15 - x) * x^(1/2)

Теперь мы можем применить правило производной произведения функций:

(dy/dx) = (15 - x) * (1/2) * x^(-1/2) + (-1) * x^(1/2)

Упростив это выражение, получаем:

(dy/dx) = (15 - x)^(1/2) * (1/2) * x^(-1/2) - (1/2) * x^(1/2)

Приравнивание производной к нулю

Теперь приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение для x:

(15 - x)^(1/2) * (1/2) * x^(-1/2) - (1/2) * x^(1/2) = 0

Мы можем умножить обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробей:

(15 - x)^(1/2) * x^(-1/2) - x^(1/2) = 0

Перенесем одно слагаемое на другую сторону уравнения:

(15 - x)^(1/2) * x^(-1/2) = x^(1/2)

Возведем обе части уравнения в квадрат:

(15 - x) * x^(-1) = x

Умножим обе части уравнения на x:

(15 - x) = x^2

Перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения:

x^2 + x - 15 = 0

Решение квадратного уравнения

Теперь у нас есть квадратное уравнение, которое мы можем решить с помощью факторизации, метода квадратного корня или формулы дискриминанта.

У нас есть уравнение вида:

ax^2 + bx + c = 0

где a = 1, b = 1 и c = -15. Применим формулу дискриминанта:

D = b^2 - 4ac

D = (1)^2 - 4(1)(-15)

D = 1 + 60

D = 61

Так как дискриминант D больше нуля, у нас есть два различных вещественных корня.

Нахождение x1 и x2

Используя формулу для нахождения корней квадратного уравнения, мы можем получить значения x1 и x2:

x1 = (-b + √D) / (2a)

x1 = (-1 + √61) / (2 * 1)

x1 = (-1 + √61) / 2

x2 = (-b - √D) / (2a)

x2 = (-1 - √61) / (2 * 1)

x2 = (-1 - √61) / 2

Таким образом, мы получаем два значения x: x1 ≈ 3.73 и x2 ≈ -4.73.

Подстановка значений x в функцию y

Теперь, чтобы найти соответствующие значения y, мы подставляем найденные значения x в исходную функцию:

y1 = (15 - x1)√x1

y1 = (15 - 3.73)√3.73

y1 ≈ 28.13

y2 = (15 - x2)√x2

y2 = (15 - (-4.73))√(-4.73)

y2 ≈ 0.00

Таким образом, точка максимума функции y = (15 - x)√x находится при x ≈ 3.73, y ≈ 28.13.