Question

Образующая конуса l равна корень √6 дм и составляет с плоскостью основания угол 45 найдите площать боковой и полной поверхности конуса

Answer 1

Площадь боковой = 48

Answer 2

Для начала найдем радиус основания конуса. У нас имеется информация о длине образующей \( l = \sqrt{6} \, \text{дм} \) и угле, который образует образующая с плоскостью основания \( \alpha = 45^\circ \). Мы можем воспользоваться тригонометрическими соотношениями для нахождения радиуса \( r \) и высоты \( h \) конуса.

Нахождение радиуса и высоты конуса

Используем тригонометрическое соотношение для нахождения радиуса: \[ \cos(\alpha) = \frac{r}{l} \] \[ r = l \cdot \cos(\alpha) = \sqrt{6} \cdot \cos(45^\circ) = \sqrt{6} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{3} \, \text{дм} \]

Теперь, найдем высоту конуса, используя теорему Пифагора: \[ h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{3})^2} = \sqrt{6 - 3} = \sqrt{3} \, \text{дм} \]

Таким образом, у нас есть радиус основания \( r = \sqrt{3} \, \text{дм} \) и высота \( h = \sqrt{3} \, \text{дм} \).

Нахождение площади боковой поверхности

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле: \[ S = \pi \cdot r \cdot l \]

Подставим известные значения: \[ S = \pi \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{6} = \sqrt{18} \pi \, \text{дм}^2 \]

Нахождение полной площади поверхности

Площадь полной поверхности конуса можно найти, сложив площадь основания и площадь боковой поверхности: \[ S_{\text{полн}} = \pi \cdot r^2 + \pi \cdot r \cdot l \]

Подставим известные значения: \[ S_{\text{полн}} = \pi \cdot (\sqrt{3})^2 + \sqrt{18} \pi = 3\pi + \sqrt{18} \pi = (3 + \sqrt{18}) \pi \, \text{дм}^2 \]

Таким образом, площадь боковой поверхности конуса составляет \( \sqrt{18} \pi \, \text{дм}^2 \), а полная площадь поверхности конуса равна \( (3 + \sqrt{18}) \pi \, \text{дм}^2 \).