Question

Найти точку max функции y= 1,5x^2 - 39x + 108lnx - 8

Answer 1

4 - точка максимума функции

Answer 2

Для того чтобы найти точку максимума функции y = 1.5x^2 - 39x + 108ln(x) - 8, мы должны найти значение x, при котором производная функции равна нулю. Точка, в которой производная равна нулю, может быть точкой экстремума функции, либо точкой максимума, либо точкой минимума.

Нахождение производной функции

Для начала, найдем производную функции y по x. Для этого возьмем производные каждого слагаемого и сложим их:

y' = d/dx(1.5x^2) - d/dx(39x) + d/dx(108ln(x)) - d/dx(8)

После нахождения производных каждого слагаемого, получим:

y' = 3x - 39 + 108(1/x) + 0

Упростим это выражение:

y' = 3x - 39 + 108/x

Решение уравнения y' = 0

Теперь, чтобы найти точку максимума функции, мы должны решить уравнение y' = 0. То есть:

3x - 39 + 108/x = 0

Умножим обе части уравнения на x, чтобы избавиться от дроби:

3x^2 - 39x + 108 = 0

Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью квадратного корня или формулы дискриминанта. Вычислим дискриминант, чтобы определить тип корней:

D = (-39)^2 - 4 * 3 * 108 = 1521 - 1296 = 225

D > 0, следовательно, уравнение имеет два различных корня.

Нахождение значений x

Используя формулу для нахождения корней квадратного уравнения, получим значения x:

x1 = (-(-39) + sqrt(225)) / (2 * 3) = (39 + 15) / 6 = 54 / 6 = 9

x2 = (-(-39) - sqrt(225)) / (2 * 3) = (39 - 15) / 6 = 24 / 6 = 4

Таким образом, точки, в которых производная функции равна нулю, равны x = 9 и x = 4.

Проверка типа экстремума

Для того чтобы определить, является ли каждая из найденных точек максимумом или минимумом, мы можем проанализировать знаки второй производной функции. Если вторая производная положительна в точке, то это будет точка минимума, а если отрицательна, то точка будет максимумом.

Вычислим вторую производную функции y:

y'' = d/dx(3x - 39 + 108/x)

y'' = 3 - 108/x^2

Определение типа экстремума

Подставим значения x = 9 и x = 4 во вторую производную, чтобы определить тип экстремума:

y''(9) = 3 - 108/9^2 = 3 - 108/81 = 3 - 4/3 = 5/3 > 0

y''(4) = 3 - 108/4^2 = 3 - 108/16 = 3 - 27/4 = 5/4 > 0

Оба значения y'' положительны, что означает, что обе точки, x = 9 и x = 4, являются точками минимума функции.

Ответ

Таким образом, точки максимума функции y = 1.5x^2 - 39x + 108ln(x) - 8 не существует. Вместо этого, функция имеет две точки минимума при x = 9 и x = 4.