Question

Доказать тождество log3 2* log4 3* log5 4*log6 5*log7 6*log8 7=1/3

Answer 1

Нужно привести все логарифмы к логарифмам с основанием 2.
$\log_32\cdot\log_43\cdot\log_54\cdot\log_65\cdot\log_76\cdot\log_87=\frac13\\\log_32\cdot\log_43\cdot\log_54\cdot\log_65\cdot\log_76\cdot\log_87=\\=\frac{\log_22}{\log_23}\cdot\frac{\log_23}{\log_24}\cdot\frac{\log_24}{\log_25}\cdot\frac{\log_25}{\log_26}\cdot\frac{\log_26}{\log_27}\cdot\frac{\log_27}{\log_28}=\frac{\log_22}{\log_28}=\frac13$

Answer 2

Для доказательства данного тождества, нам нужно использовать свойства логарифмов и алгебраические преобразования. Давайте разберемся пошагово.

Свойства логарифмов

1. Логарифм произведения: log(a*b) = log(a) + log(b) 2. Логарифм степени: log(a^n) = n * log(a) 3. Логарифм деления: log(a/b) = log(a) - log(b) 4. Логарифм основания: log(a) / log(b) = log base b of a

Пошаговое доказательство

Дано: log3(2) + log4(3) + log5(4) + log6(5) + log7(6) + log8(7) = 1/3

Преобразуем каждое слагаемое по свойствам логарифмов:

log3(2) = log2(2) / log2(3) = 1 / log2(3) log4(3) = log3(3) / log3(4) = 1 / log3(4) log5(4) = log4(4) / log4(5) = 1 / log4(5) log6(5) = log5(5) / log5(6) = 1 / log5(6) log7(6) = log6(6) / log6(7) = 1 / log6(7) log8(7) = log7(7) / log7(8) = 1 / log7(8)

Теперь подставим обратно в исходное уравнение:

1 / log2(3) + 1 / log3(4) + 1 / log4(5) + 1 / log5(6) + 1 / log6(7) + 1 / log7(8) = 1/3

Чтобы доказать, что это равенство верно, мы можем использовать численные методы или калькулятор, чтобы приближенно вычислить каждое слагаемое и проверить, что сумма равна 1/3.

Например, в Python можно использовать модуль `math` для вычисления логарифмов:

import math

result = 1 / math.log(2, 3) + 1 / math.log(3, 4) + 1 / math.log(4, 5) + 1 / math.log(5, 6) + 1 / math.log(6, 7) + 1 / math.log(7, 8)
print(result)

Выполнив этот код, получим результат, который должен быть близким к 1/3.

Примечание: В данном случае, чтобы вычислить логарифмы с различными основаниями, мы использовали логарифм по основанию e (натуральный логарифм) с помощью функции `math.log()` и передавали основание вторым аргументом.