Question

Обозначим через p(n) произведение всех цифр натурального числа n. Вычислите p(1000)+p(1001)+…+p(2019).

Answer 1

Ясно, что если хотя бы одна цифра числа n равна нулю, то p(n)=0. В первый раз p(n) не равно нулю, когда n=1111, в последний раз - когда n=1999. Отбрасывая числа с нулями, сводим задачу к следующей:

Найти $\sum\limits_{i,j,k=1}^9i j k.$

Имеется в виду, что i - число тысяч, j - число десятков, k - число единиц числа (число десятков тысяч всегда равно 1 и поэтому не учитывается). Преобразуем:

$\sum\limits_{i,j,k=1}^9ijk=\sum\limits_{i=1}^9\left(i\cdot\sum\limits_{j,k=1}^9 jk\right)=\left(\sum\limits_{i=1}^9i\right)\cdot \left(\sum\limits_{j=1}^9j\right) \cdot\left(\sum\limits_{k=1}^9k\right)=$

$45\cdot 45\cdot 45=91125$.

Кто не разобрался со знаками суммирования, разберу пример с

$\scriptstyle\sum\limits_{i,j,k=1}^2ijk=1\cdot 1\cdot 1+1\cdot 1\cdot 2+1\cdot 2\cdot 1+1\cdot 2 \cdot 2+2\cdot 1\cdot 1+2\cdot 1\cdot 2+2\cdot 2\cdot 1+ 2\cdot 2\cdot 2=$

$\scriptstyle =1(1\cdot 1+1\cdot 2+2\cdot 1+2\cdot 2)+2(1\cdot 1+1\cdot 2+2\cdot 1+2\cdot 2)=(1+2)(1\cdot 1+1\cdot 2+2\cdot 1+2\cdot 2)=$

$\scriptstyle =(1+2)\left[1(1+2)+2(1+2)\right]=(1+2)(1+2)(1+2)=27$

Ответ: 91125

Answer 2

Решение:

Для начала, давайте определим функцию p(n) как произведение всех цифр натурального числа n.

Для вычисления p(1000), p(1001), ..., p(2019) нам нужно разложить каждое из этих чисел на множители и перемножить их цифры.

Начнем с p(1000):

p(1000) = 1 * 0 * 0 * 0 = 0

Теперь посчитаем p(1001):

p(1001) = 1 * 0 * 0 * 1 = 0

Теперь рассмотрим p(1002):

p(1002) = 1 * 0 * 0 * 2 = 0

Теперь рассмотрим p(1003):

p(1003) = 1 * 0 * 0 * 3 = 0

Продолжая таким образом, мы можем вычислить p(1004), p(1005), ..., p(2019), и во всех этих случаях получим 0.

Таким образом, сумма p(1000) + p(1001) + ... + p(2019) будет равна 0.

Ответ: Сумма p(1000) + p(1001) + ... + p(2019) равна 0.