Question

В геометрической прогрессии сумма первого и треть­его членов равна 10, а сумма второго и четвертого членов равна – 5. Найдите сумму геометрической прогрессии

Answer 1

$\begin{cases} b_1+b_3=10\\ b_2+b_4=-5 \end{cases}\\ b_2=b_1\cdot q\\ b_3=b_1\cdot q^2\\ b_4=b_1\cdot q^3\\ \begin{cases} b_1+b_1\cdot q^2=10\\ b_1\cdot q+b_1\cdot q^3=-5 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} b_1=\frac{10}{1+q^2}\\ \frac{10q}{1+q^2}+\frac{10q^3}{1+q^2}=-5 \end{cases}\\ \frac{10q}{1+q^2}+\frac{10q^3}{1+q^2}=-5\\ 10q+10q^3=-5(1+q^2)\\ 10q^3+5q^2+10q+5=0\quad\div5\\ 2q^3+q^2+2q+1=0\\ q^2(2q+1)+(2q+1)=0\\ (q^2+1)(2q+1)=0\\ q^2+1=0\\ q^2=-1\;-\;pew.HET\\ 2q+1=0\\ 2q=-1\\ q=-\frac12=-0,5$

$\begin{cases} b_1=8\\q=-0,5\end{cases}$

Прогрессия бесконечно убывает, поэтому её сумма

$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{8}{1-(-0,5)}=\frac{8}{1,5}=\frac{80}{15}=5\frac5{15}=5\frac13$

Answer 2

Для нахождения суммы геометрической прогрессии, нам необходимо знать первый член (а) и знаменатель (q) этой прогрессии.

Из условия задачи имеем: a1 + a3 = 10, a2 + a4 = -5.

Также, из свойства геометрической прогрессии, имеем: a2 = a1 * q, a3 = a1 * q^2, a4 = a1 * q^3.

Подставим эти выражения в уравнения из условия: a1 + a1 * q^2 = 10, a1 * q + a1 * q^3 = -5.

Факторизуем уравнения: a1 * (1 + q^2) = 10, a1 * q * (1 + q^2) = -5.

Разделим второе уравнение на первое: q = -5 / 10, q = -0.5.

Теперь найдем первый член прогрессии: a1 + a1 * (-0.5)^2 = 10, a1 + 0.25 * a1 = 10, 1.25 * a1 = 10, a1 = 10 / 1.25, a1 = 8.

Теперь, когда мы знаем a1 и q, можем найти сумму геометрической прогрессии: S = a1 * (1 - q^n) / (1 - q), S = 8 * (1 - (-0.5)^n) / (1 - (-0.5)).

Где n - количество членов прогрессии.