Question

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = х²-2; у = 2х+1.

Answer 1

Найдем промежутки интегрирования
x²-2=2x+1
x²-2x-3=0
x1+x2=2 U x1*x2=-3
x1=-1 U x2=3
Фигура ограничена сверху прямой у=2х+1,а снизу параболой y=x²-2
$S= \int\limits^3_{-1} {(2x+1-x^2+2)} \, dx = \int\limits^3_{-1} {x(3+2x-x^2) \, dx =$$3x+x^2-x^3/3|^3_{-1}=9+9-9+3-1-1/3=$10 2/3

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной двумя кривыми линиями у = х² - 2 и у = 2х + 1, мы можем использовать метод интегрирования. Сначала нам нужно найти точки пересечения этих двух кривых, чтобы определить интервал, на котором будем вычислять площадь.

Нахождение точек пересечения:

1. Приравняем уравнения к друг другу: х² - 2 = 2х + 1.

2. Перенесем все члены в одну сторону: х² - 2х - 3 = 0.

3. Решим это квадратное уравнение, например, используя метод дискриминанта или факторизации: (х - 3)(х + 1) = 0.

Таким образом, получаем две точки пересечения: х₁ = 3 и х₂ = -1.

Вычисление площади:

Теперь, когда мы знаем точки пересечения, мы можем интегрировать функцию, чтобы найти площадь фигуры между двумя кривыми.

1. Определим нижний и верхний пределы интегрирования. В данном случае, нижний предел будет х₂ = -1, а верхний предел - х₁ = 3.

2. Запишем уравнения кривых в виде у = f(х) и у = g(х): f(х) = х² - 2, g(х) = 2х + 1.

3. Площадь фигуры может быть найдена с помощью интеграла: площадь = ∫[a, b] (f(х) - g(х)) dх,

где [a, b] - интервал интегрирования, в данном случае [-1, 3].

4. Подставим функции f(х) и g(х) в интеграл: площадь = ∫[-1, 3] (х² - 2 - (2х + 1)) dх.

5. Распределим интеграл: площадь = ∫[-1, 3] (х² - 2 - 2х - 1) dх.

6. Выполним простые вычисления: площадь = ∫[-1, 3] (х² - 2х - 3) dх.

7. Интегрируем: площадь = [х³/3 - х² - 3х] от -1 до 3.

8. Подставим верхний и нижний пределы интегрирования: площадь = (3³/3 - 3² - 3*3) - ((-1)³/3 - (-1)² - 3*(-1)).

9. Выполним вычисления: площадь = (27/3 - 9 - 9) - ((-1)/3 - 1 + 3).

10. Упростим выражение: площадь = (9 - 9 - 9) - ((-1)/3 - 1 + 3).

11. Выполним вычисления: площадь = 0 - ((-1)/3 - 1 + 3).

12. Упростим выражение: площадь = 0 - ((-1)/3 + 2).

13. Выполним вычисления: площадь = 0 - ((-1 + 6)/3).

14. Упростим выражение: площадь = 0 - (5/3).

15. Получаем окончательный результат: площадь = -5/3.

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями у = х² - 2 и у = 2х + 1, равна -5/3.