Question

Sin^2 (arctg 3-arctg (1/2))=1/2

Answer 1

Sin^2 (arctg3-arctg (1/2))= Sin(arctg3-arctg (1/2))*Sin(arctg3-arctg (1/2))=
=( Sin(arctg3)Cos(arctg(1/2)) -Cos(arctg3)Sin(arctg(1/2)) )²
Считаем по отдельности:
а)Sin(arctg3) = 3/√(1 +9) = 3√10/10
б)Сos(arctg(1/2)) = 1/√(1 + 1/4) = 2√5/5
в)Сos(arctg3) =1/√10 = √10/10 
г)Sin(arctg(1/2) = 1/2/√5/4 = √5/5
Теперь наш пример:
(3√10/10 *  2√5/5 - √10/10  * √5/5)² = (6√50/50 - √50/50)²= (5√50/50)²=
=(√50/10)² = 50/100 = 0,5

Answer 2

Давайте решим данное уравнение шаг за шагом.

Имеем уравнение: sin^2(arctg(3) - arctg(1/2)) = 1/2.

Для начала, воспользуемся формулой для разности аргументов тангенса: arctg(a) - arctg(b) = arctg((a - b) / (1 + ab)).

Применяя эту формулу к нашему уравнению, получим: sin^2(arctg(3) - arctg(1/2)) = 1/2, sin^2(arctg((3 - 1/2) / (1 + 3 * 1/2))) = 1/2, sin^2(arctg((6/2 - 1/2) / (1 + 3 * 1/2))) = 1/2, sin^2(arctg(5/4)) = 1/2.

Теперь воспользуемся формулой для синуса арктангенса: sin(arctg(a)) = a / sqrt(1 + a^2).

Применяя эту формулу к нашему уравнению, получим: (sin(arctg(5/4)))^2 = 1/2, ((5/4) / sqrt(1 + (5/4)^2))^2 = 1/2, ((5/4) / sqrt(1 + 25/16))^2 = 1/2, ((5/4) / sqrt(41/16))^2 = 1/2, ((5/4) / (sqrt(41) / 4))^2 = 1/2, (5 / sqrt(41))^2 = 1/2, 25 / 41 = 1/2, 25 = 41/2.

Видим, что данное уравнение не имеет решений, так как 25 не равно 41/2.

Таким образом, уравнение sin^2(arctg(3) - arctg(1/2)) = 1/2 не имеет решений.