Question

Интеграл от 1/(x^3+x^2)

Answer 1

$\int{\frac{1}{x^3+3x^2}}\, dx= - \frac{logx}{9}+\frac{log(x+3)}{9}-\frac{1}{3-x}$

Answer 2

Интеграл от 1/(x^3+x^2)

Интеграл от функции 1/(x^3+x^2) может быть решен путем частичного разложения на простые дроби. Давайте начнем с этого.

Частичное разложение на простые дроби

Исходная функция:

\[ \int \frac{1}{x^3+x^2} \,dx \]

Разложим знаменатель на простые множители:

\[ x^2(x+1) \]

Теперь нам нужно найти такие константы A, B и C, что:

\[ \frac{1}{x^3+x^2} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{C}{x+1} \]

Нахождение коэффициентов A, B и C

Умножим обе стороны на \( x^3+x^2 \):

\[ 1 = A(x+1) + Bx(x+1) + Cx^2 \]

Подставим различные значения x, чтобы найти коэффициенты A, B и C.

Интегрирование

Когда мы найдем коэффициенты A, B и C, мы сможем проинтегрировать каждое слагаемое по отдельности.

\[ \int \frac{1}{x^3+x^2} \,dx = \int \left( \frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{C}{x+1} \right) \,dx \]

После нахождения коэффициентов и интегрирования каждого слагаемого, мы получим окончательный результат.

Давайте начнем с нахождения коэффициентов A, B и C.