Question

Из натуральных чисел от 1 до 1991 Дима хочет выбрать несколько и выписать в ряд так, чтобы сумма любых четырех идущих подряд чисел не делилась на три, а сумма любых пяти последовательных в этом ряду чисел делилась на три. Какое наибольшее количество чисел может выбрать Дима?

Answer 1

Вместо заданных чисел 1,2,...,1907 можно рассматривать их остатки от деления на три: 1,2,0,1,2,0,...,0,1,2. Нуль нельзя выбирать, иначе в пятерке, где нуль крайний, найдётся четвёрка с суммой, кратной трём. Выбранная последовательность единиц и двоек периодична с периодом, равным пяти. Короткий перебор показывает, что в периоде должно быть ровно четыре одинаковых числа. Поскольку в исходном наборе единиц и двоек поровну, то искомым набором может быть такой2,1,1,1,1,2,1,1,1,1,...,2,1,1,1,1,2.В нём 636 единиц и 145 двоек.
итого 636+145=771 числа

Answer 2

Для решения этой задачи можно использовать метод перебора. Для начала, создадим последовательность натуральных чисел от 1 до 1991. Затем, начнем выбирать числа и проверять условия задачи.

Для того чтобы сумма любых четырех идущих подряд чисел не делилась на три, нам нужно выбирать числа так, чтобы сумма любых четырех чисел не делилась на три. Это значит, что нам нужно выбирать числа так, чтобы среди любых четырех чисел не было трех чисел, сумма которых делилась бы на три.

Для того чтобы сумма любых пяти последовательных чисел делилась на три, нам нужно выбирать числа так, чтобы сумма любых пяти чисел делилась на три. Это значит, что нам нужно выбирать числа так, чтобы среди любых пяти чисел было три числа, сумма которых делилась бы на три.

Таким образом, мы должны выбирать числа так, чтобы среди любых пяти чисел было три числа, сумма которых делилась бы на три, и чтобы среди любых четырех чисел не было трех чисел, сумма которых делилась бы на три.

Проведя подобные вычисления, мы можем прийти к выводу, что наибольшее количество чисел, которые можно выбрать Диме, равно 1332.