Question

Решите неравенство методом интервала а ) х(х-2)(х-9)(х+4)≤0б) х^2-2х-24≥0

Answer 1

Вот так вот: сначала надо приравнять и по правилу "уравнение равно нулю, когда один из множителей равен нулю" мы приравняли к нулю каждую скобку и находим иксы, которые расставляем на оси абцисс
Определение знака: берем любое число больше последнего икса и поставляем его в изначальное уравнение, если +, то значит и первый интервал положительный

Answer 2

Решение неравенства методом интервала

Для решения неравенств с использованием метода интервалов, мы должны найти значения переменной, при которых неравенство выполняется. Для этого мы разделяем вещественную ось на интервалы, в каждом из которых неравенство может быть выполнено или не выполнено.

# Решение неравенства а) х(х-2)(х-9)(х+4) ≤ 0

1. Найдем значения, при которых выражение в левой части неравенства равно нулю. Это произойдет, когда х равно 0, 2, 9 или -4. Запишем эти значения в виде точек на вещественной оси: x = {-4, 0, 2, 9}.

2. Теперь выберем по одной точке из каждого интервала между этими значениями и проверим знак выражения в левой части неравенства в каждом интервале.

- В интервале (-∞, -4) выберем х = -5 и подставим его в выражение: -5(-5-2)(-5-9)(-5+4) = -5(-7)(-14)(-1) < 0, значит неравенство выполняется в этом интервале. - В интервале (-4, 0) выберем х = -1 и подставим его в выражение: -1(-1-2)(-1-9)(-1+4) = -1(-3)(-10)(3) > 0, значит неравенство не выполняется в этом интервале. - В интервале (0, 2) выберем х = 1 и подставим его в выражение: 1(1-2)(1-9)(1+4) = 1(-1)(-8)(5) > 0, значит неравенство не выполняется в этом интервале. - В интервале (2, 9) выберем х = 5 и подставим его в выражение: 5(5-2)(5-9)(5+4) = 5(3)(-4)(9) < 0, значит неравенство выполняется в этом интервале. - В интервале (9, ∞) выберем х = 10 и подставим его в выражение: 10(10-2)(10-9)(10+4) = 10(8)(1)(14) > 0, значит неравенство не выполняется в этом интервале.

3. Таким образом, значения, при которых неравенство выполняется, находятся в интервалах (-∞, -4) и (2, 9), а значения, при которых неравенство не выполняется, находятся в интервалах (-4, 0) и (9, ∞). Итак, решение неравенства а) - это интервалы (-∞, -4) и (2, 9).

# Решение неравенства б) х^2 - 2х - 24 ≥ 0

1. Найдем значения, при которых левая часть неравенства равна нулю. Решим квадратное уравнение х^2 - 2х - 24 = 0.

Для решения квадратного уравнения, мы можем использовать формулу дискриминанта: D = b^2 - 4ac.

В данном случае, a = 1, b = -2, c = -24.

Вычислим дискриминант: D = (-2)^2 - 4(1)(-24) = 4 + 96 = 100.

Так как дискриминант больше нуля, у нас есть два действительных корня. Используя формулу корней квадратного уравнения: x = (-b ± √D) / (2a), получаем:

x1 = (-(-2) + √100) / (2 * 1) = (2 + 10) / 2 = 12 / 2 = 6 x2 = (-(-2) - √100) / (2 * 1) = (2 - 10) / 2 = -8 / 2 = -4

Значениями, при которых левая часть неравенства равна нулю, являются x = -4 и x = 6. Запишем эти значения в виде точек на вещественной оси: x = {-4, 6}.

2. Теперь выберем по одной точке из каждого интервала между этими значениями и проверим знак выражения в левой части неравенства в каждом интервале.

- В интервале (-∞, -4) выберем х = -5 и подставим его в выражение: (-5)^2 - 2(-5) - 24 = 25 + 10 - 24 = 11 > 0, значит неравенство не выполняется в этом интервале. - В интервале (-4, 6) выберем х = 0 и подставим его в выражение: (0)^2 - 2(0) - 24 = 0 - 0 - 24 = -24 < 0, значит неравенство выполняется в этом интервале. - В интервале (6, ∞) выберем х = 10 и подставим его в выражение: (10)^2 - 2(10) - 24 = 100 - 20 - 24 = 56 > 0, значит неравенство не выполняется в этом интервале.

3. Таким образом, значения, при которых неравенство выполняется, находятся в интервале (-4, 6), а значения, при которых неравенство не выполняется, находятся в интервалах (-∞, -4) и (6, ∞). Итак, решение неравенства б) - это интервалы (-∞, -4) и (6, ∞).