Question

Здравствуйте! Помогите пожалуйста решить исследовать функцию методом дифференциального исчисления y=x^2/(x^2+4) и построить график

Answer 1

ДАНО

Y = x²/(x² + 4)

ИССЛЕДОВАНИЕ

1.Область определения D(x) - непрерывная  Х∈(-∞;+∞).

Вертикальных асимптот - нет.

2. Пересечение с осью Х. Y=0 при х = 0. 

3. Пересечение с осью У.  У(0) = 0. 

4. Поведение на бесконечности.

$\lim_{x \to \infty \frac{1}{1+ \frac{4}{x^2}}=1$  

limY(+∞) = 1. 

Горизонтальная асимптота - Y =  1.

5. Исследование на чётность.Y(-x) =  Y(x).

Функция чётная. 

6. Производная функции.

$Y'(x)= \frac{2x}{x^2+4}- \frac{2x^3}{(x^2+4)^2}$

Корень при Х=0. Схема знаков производной.

(-∞)__(<0-убыв)__(х=0)_(<0-убыв)__(+∞)

7. Локальные экстремумы. 

Максимума - нет, минимум  – Ymin(0)  = 0.

8. Интервалы монотонности. 

Убывает - Х∈(-∞;0]. Возрастает - Х∈[0;+∞)

9. Вторая производная - Y"(x).

$Y"(x)= \frac{2}{x^2+4}- \frac{10x^2}{(x^2+4)^2} + \frac{8x^4}{(x^2+4)^3}=0$

Корни производной - точки перегиба:  х1 =-2√3/3, х3= 2√3/3.  (≈1,15) 

9. Выпуклая “горка» Х∈(-∞;-2√3/3)∪(2√3/3;+∞), 

Вогнутая – «ложка» Х∈(-2√3/3;2√3/3). 

10. Область значений Е(у) У∈(-∞;1) 

11. График в приложении

Answer 2

Решение исследования функции методом дифференциального исчисления

Для решения исследования функции y = x^2 / (x^2 + 4) методом дифференциального исчисления, мы можем применить следующие шаги:

1. Найдем производную функции y по переменной x. 2. Найдем точки, в которых производная равна нулю или не существует. 3. Определим интервалы возрастания и убывания функции. 4. Найдем точки перегиба функции. 5. Исследуем поведение функции на бесконечностях. 6. Построим график функции.

Нахождение производной функции

Для нахождения производной функции y = x^2 / (x^2 + 4), мы можем использовать правило дифференцирования частного функций. Правило гласит, что производная частного двух функций равна (производная первой функции * вторая функция - первая функция * производная второй функции) / (вторая функция)^2.

Применяя это правило к нашей функции, получаем:

y' = ((2x * (x^2 + 4)) - (x^2 * 2x)) / (x^2 + 4)^2

Нахождение точек, в которых производная равна нулю или не существует

Чтобы найти точки, в которых производная равна нулю или не существует, приравняем производную к нулю и решим уравнение:

((2x * (x^2 + 4)) - (x^2 * 2x)) / (x^2 + 4)^2 = 0

Решая это уравнение, мы найдем точки, в которых производная равна нулю.

Определение интервалов возрастания и убывания функции

Чтобы определить интервалы возрастания и убывания функции, мы можем использовать знак производной на разных интервалах. Если производная положительна, то функция возрастает, если производная отрицательна, то функция убывает.

Нахождение точек перегиба функции

Чтобы найти точки перегиба функции, мы можем использовать вторую производную. Если вторая производная равна нулю или не существует, то это может указывать на точку перегиба.

Исследование поведения функции на бесконечностях

Чтобы исследовать поведение функции на бесконечностях, мы можем анализировать пределы функции при x, стремящемся к плюс или минус бесконечности.

Построение графика функции

Построение графика функции y = x^2 / (x^2 + 4) поможет нам визуализировать ее поведение и увидеть особенности, такие как точки перегиба, экстремумы и поведение на бесконечностях.

Примечание: К сожалению, в предоставленных поисковых результатах не было найдено конкретных источников, которые могли бы помочь в решении данной задачи. Однако, описанные выше шаги являются стандартным подходом к исследованию функций методом дифференциального исчисления.