Question

Тригонометрия. Один пример. Пожалуйста, подробное решение!2) 7 sin²x - 5 cos²x + 2 = 0

Answer 1

Вот, решение в прикрепленной фотографии

Answer 2

Дано уравнение: 2 + 7sin²x - 5cos²x + 2 = 0.

Чтобы решить это уравнение, мы можем использовать тригонометрические тождества, чтобы выразить одну тригонометрическую функцию через другую. В данном случае, мы заметим, что sin²x + cos²x = 1, поскольку это является тригонометрическим тождеством.

Давайте заменим sin²x + cos²x в уравнении, чтобы получить:

2 + 7sin²x - 5(1 - sin²x) + 2 = 0.

Теперь раскроем скобки и упростим выражение:

2 + 7sin²x - 5 + 5sin²x + 2 = 0.

Объединим подобные члены:

14sin²x - 1 = 0.

Теперь выразим sin²x:

14sin²x = 1.

sin²x = 1/14.

Для решения этого уравнения, мы можем взять квадратный корень от обеих сторон:

sinx = ±√(1/14).

Теперь, чтобы найти значения x, мы можем использовать обратные тригонометрические функции, такие как arcsin. В зависимости от диапазона значений, которые мы хотим найти, мы можем использовать следующие формулы:

x = arcsin(√(1/14)) + 2πn,

x = π - arcsin(√(1/14)) + 2πn,

где n - любое целое число.

Эти формулы позволяют нам найти все значения x, которые удовлетворяют уравнению.

Пример решения:

Давайте найдем значения x, которые удовлетворяют уравнению в диапазоне от 0 до 2π.

1. Заменим sin²x + cos²x в уравнении:

2 + 7sin²x - 5cos²x + 2 = 0.

2. Раскроем скобки и упростим:

14sin²x - 1 = 0.

3. Выразим sin²x:

sin²x = 1/14.

4. Возьмем квадратный корень от обеих сторон:

sinx = ±√(1/14).

5. Используем обратную функцию arcsin для нахождения значений x:

x₁ = arcsin(√(1/14)) ≈ 0.2635.

x₂ = π - arcsin(√(1/14)) ≈ 2.877.

6. Добавим 2π к каждому значению x, чтобы учесть все возможные значения:

x₁ ≈ 0.2635 + 2πn,

x₂ ≈ 2.877 + 2πn,

где n - любое целое число.

Таким образом, решением уравнения 2 + 7sin²x - 5cos²x + 2 = 0 в диапазоне от 0 до 2π являются все значения x, полученные при добавлении 2πn к x₁ и x₂.

Например, некоторые значения x, удовлетворяющие уравнению, могут быть:

x₁ ≈ 0.2635, 2.2635, 4.2635, ...

x₂ ≈ 2.877, 5.877, 8.877, ...

Это лишь несколько примеров значений x, и существует бесконечное количество других значений, которые удовлетворяют данному уравнению.