Question

Помогите вычислить интеграл In (2x+Корень X)dx/кореньX

Answer 1

========================>>>

Answer 2

Для вычисления данного интеграла воспользуемся методом замены переменной. Давайте разберемся подробно.

Замена переменной

Пусть \( u = \sqrt{x} \), тогда \( x = u^2 \). Также, \( dx = 2u \, du \).

Подстановка в интеграл

Теперь мы можем заменить \( x \) и \( dx \) в нашем интеграле: \[ \int \frac{2x + \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \, dx = \int \frac{2u^2 + u}{u} \cdot 2u \, du \]

Упрощение выражения

\[ = \int (2u^2 + u) \cdot 2u \, du = \int (4u^3 + 2u^2) \, du \]

Вычисление интеграла

Теперь мы можем проинтегрировать выражение по переменной \( u \): \[ = \int 4u^3 \, du + \int 2u^2 \, du \] \[ = u^4 + \frac{2}{3}u^3 + C \]

Обратная замена

Теперь нам нужно вернуться к переменной \( x \). Помним, что \( u = \sqrt{x} \), поэтому \[ = (\sqrt{x})^4 + \frac{2}{3}(\sqrt{x})^3 + C \] \[ = x^2 + \frac{2}{3}x\sqrt{x} + C \]

Где \( C \) - постоянная интеграции.

Таким образом, после вычислений мы получаем интеграл: \[ \int \frac{2x + \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \, dx = x^2 + \frac{2}{3}x\sqrt{x} + C \]

Надеюсь, это поможет вам вычислить данный интеграл! Если у вас есть еще вопросы или нужна дополнительная помощь, пожалуйста, дайте мне знать.