Question

Найти все простые числа p, для которых существуют такие различные трёхзначные числа abc и сbа (где а, b и с - цифры), что они оба делятся на p?

Answer 1

Если эти два числа делятся на p, то их разность тоже делится на p.
Пусть a > c, тогда разность abc - cba = 100(a - c) + (c - a) = 99(a - c)

Эта разность делится на простое p, если 99 делится на p или a - c делится на p (или одновременно и то и другое). Это ограничивает количество возможных p: p может быть равно 3, 5, 7 или 11 (бОльшие p не делят 99 и больше a - c). При этом очевидно, p = 5 не подходит: так как abc, cba делятся на 5, то a и c — 0 или 5, при этом, так как это трёхзначные числа, то a = c = 5, и получились одинаковые числа.

Примеры для оставшихся p:
- p = 3: 123 и 321 делятся на 3.
- p = 7: 168 и 861 делятся на 7.
- p = 11: 132 и 231 делятся на 11.

Ответ. 3, 7 или 11.

Answer 2

Поиск простых чисел p, для которых существуют трёхзначные числа abc и cba, делящиеся на p

Для решения этой задачи, нам нужно найти все простые числа p, для которых существуют различные трёхзначные числа abc и cba, такие, что оба числа делятся на p.

Из предоставленных поисковых результатов не удалось найти конкретные числа, удовлетворяющие этому условию. Однако, мы можем использовать алгоритм для поиска простых чисел и проверить каждое простое число p, начиная с наименьшего трёхзначного простого числа (101), чтобы найти такие числа abc и cba.

Вот пример алгоритма на языке Python, который может помочь в поиске таких чисел:

def is_prime(n):
    if n <= 1:
        return False
    for i in range(2, int(n**0.5) + 1):
        if n % i == 0:
            return False
    return True

def find_numbers():
    primes = []
    for p in range(101, 1000):
        if is_prime(p):
            abc = p * 100 + p * 10 + p
            cba = p + p * 10 + p * 100
            if abc % p == 0 and cba % p == 0:
                primes.append(p)
    return primes

primes = find_numbers()
print(primes)

Этот код проверяет каждое простое число p от 101 до 999 и находит числа abc и cba, которые делятся на p. Затем он сохраняет найденные простые числа в список `primes` и выводит его.

Примечание: Поскольку поисковые результаты не предоставляют конкретные числа, удовлетворяющие условию, мы должны использовать алгоритм для поиска таких чисел. Однако, выполнение этого алгоритма может занять некоторое время, так как мы проверяем каждое простое число от 101 до 999.