Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y=x^2+2x-1, x=-3 и x=2, осью Ox

Answer 1

§(а)(в) - знак интеграла , где (а) - верхний предел, (в) - нижний предел
§(2)(-3)(x^2+2*x-1)dx=§(2)(-3)(x^2)dx+§(2)(-3)(2*x)dx-§(2)(-3)1dx=
=x^3/3|(2)(-3)+x^2|(2)(-3)+(-x)|(2)(-3)=подставляем значение верхнего предела и отнимаем значение нижнего предела=
=2^3/3-((-3)^3/3)+2^2-(-3)^2-((2)-(-3))=(35/3)-5-5=5/3

Answer 2

Уравнение кривой

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y = x^2 + 2x - 1, x = -3 и x = 2, мы должны сначала определить, какая фигура образуется этими линиями.

Уравнение y = x^2 + 2x - 1 представляет параболу ветвями вверх, так как коэффициент при x^2 положительный.

Графическое представление

Давайте визуализируем эту параболу и вертикальные линии x = -3 и x = 2 на графике:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-4, 3, 400)
y = x**2 + 2*x - 1

plt.plot(x, y, label='y = x^2 + 2x - 1')
plt.axvline(x=-3, color='r', linestyle='--', label='x = -3')
plt.axvline(x=2, color='g', linestyle='--', label='x = 2')

plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('График параболы и вертикальных линий')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

Следующий код представляет график параболы и вертикальных линий:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-4, 3, 400)
y = x**2 + 2*x - 1

plt.plot(x, y, label='y = x^2 + 2x - 1')
plt.axvline(x=-3, color='r', linestyle='--', label='x = -3')
plt.axvline(x=2, color='g', linestyle='--', label='x = 2')

plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Graph of the parabola and vertical lines')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

График покажет параболу и две вертикальные линии, x = -3 и x = 2, которые ограничивают фигуру.

Расчет площади фигуры

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной этими линиями, нам нужно вычислить интеграл функции y = x^2 + 2x - 1 в пределах от x = -3 до x = 2. Интегрирование функции параболы даст нам площадь под кривой.

$$S = \int_{-3}^{2} (x^2 + 2x - 1) dx$$

Можем применить правила интегрирования, чтобы решить этот интеграл:

$$S = \left[\frac{1}{3}x^3 + x^2 - x\right]_{-3}^{2}$$

Вычислим значение интеграла:

$$S = \left(\frac{1}{3}(2)^3 + (2)^2 - 2\right) - \left(\frac{1}{3}(-3)^3 + (-3)^2 - (-3)\right)$$

$$S = \left(\frac{8}{3} + 4 - 2\right) - \left(\frac{-27}{3} + 9 + 3\right)$$

$$S = \frac{8}{3} - \frac{-27}{3} + (4 - 2) - (9 + 3)$$

$$S = \frac{8 + 27}{3} - 2 - 12$$

$$S = \frac{35}{3} - 14$$

$$S = \frac{35 - 42}{3}$$

$$S = \frac{-7}{3}$$

Ответ

Площадь фигуры, ограниченной линиями y = x^2 + 2x - 1, x = -3 и x = 2, равна -7/3.