Question

Народ,помогите!Доказать при помощи метода математической индукции, что (5^n+2∗3^n−3) кратно 8

Answer 1

1) Для n=1 получаем 8=8
2) Пусть утверждение верно для какого-то n=k, то есть (5^k+2∗3^k−3) кратно 8. Докажем, что и для n=k+1 утверждение верно.
Для n=k+1 выражение выглядит как 5*5^k+2∗3*3^k−3=5*(5^k+2∗3^k−3)-4*(3^k-3). 
(5^k+2∗3^k−3) кратно 8 по предположению индукции. 4*(3^k-3) кратно 4(так как один из множителей кратен 4) и, так как (3^k-3) кратно 2 (3^k - нечетное число, 3 - тоже, разность двух нечетных чисел есть число четное, то есть кратное 2), кратно 8. Сумма двух чисел, кратных 8, также дает число, кратное 8. 
Доказано.

Answer 2

Для доказательства этого утверждения сначала мы проверим базовый случай, а затем предположим, что утверждение верно для некоторого целого числа n, и докажем, что это верно и для n+1.

Базовый случай: При n=1: 5^1 + 2*3^1 - 3 = 5 + 6 - 3 = 8. 8 делится на 8, следовательно, базовый случай верен.

Предположим, что утверждение верно для некоторого целого числа k: 5^k + 2*3^k - 3 кратно 8.

Теперь докажем, что утверждение верно и для k+1: 5^(k+1) + 2*3^(k+1) - 3 = 5*5^k + 2*3*3^k - 3.

Мы знаем, что 5^k + 2*3^k - 3 кратно 8 (по предположению). Теперь мы можем выразить 5*5^k как 5^k + 4*5^k. Также, 2*3*3^k можно выразить как 2*3^k + 3*3^k.

Таким образом, выражение примет вид: (5^k + 4*5^k) + (2*3^k + 3*3^k) - 3.

Раскроем скобки: 5^k + 4*5^k + 2*3^k + 3*3^k - 3.

Теперь мы можем вынести общий множитель: 5^k + 2*3^k + 3*5^k + 3*3^k - 3.

Мы знаем, что 5^k + 2*3^k - 3 кратно 8 (по предположению). А также, 3*5^k + 3*3^k является целым числом. Таким образом, сумма также будет кратна 8.

Таким образом, мы доказали утверждение методом математической индукции.