Question

Числа a и b удовлетворчют равенству a^2b^2/a^4-2b^4=1. Найдите все возможные значения выражения a^2-b^2/a^2+b^2

Answer 1

$\frac{(ab)^2}{a^4-2b^4}=1\\ a^2b^2=a^4-2b^4\\ a^2b^2-a^4+2b^4=0\\ a^2=x\\ b^2=y\\ 2y^2+xy-x^2=0\\ D=x^2+4*2*x^2=(3x)^2\\ y=\frac{-x+3x}{4}=\frac{x}{2}\\ y=\frac{-x-3x}{4}=-x\\ (2y-x)(y+x)=0\\ (2b^2-a^2)(b^2+a^2)=0$
с него следует 
$2b^2=a^2\\ \frac{2b^2-b^2}{2b^2+b^2}=\frac{1}{3}$

Answer 2

Для начала рассмотрим данное уравнение:

a^2b^2 / (a^4 - 2b^4) = 1

Мы хотим найти все возможные значения выражения:

a^2 - b^2 / a^2 + b^2

Давайте разберемся с уравнением в первом выражении.

Решение уравнения a^2b^2 / (a^4 - 2b^4) = 1

Мы можем начать, умножив обе стороны уравнения на (a^4 - 2b^4), чтобы избавиться от дроби:

a^2b^2 = a^4 - 2b^4

Затем, приведем подобные слагаемые в правой части уравнения:

a^4 - a^2b^2 = 2b^4

Теперь, мы можем переписать это уравнение в виде разности квадратов:

(a^2 - b^2)(a^2 + b^2) = 2b^4

Решение выражения a^2 - b^2 / a^2 + b^2

Теперь, рассмотрим выражение a^2 - b^2 / a^2 + b^2. Мы можем заметить, что это также является разностью квадратов:

a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)

Таким образом, мы можем переписать исходное выражение:

(a + b)(a - b) / (a^2 + b^2)

Отсюда, мы видим, что значение выражения зависит от значений a и b. Давайте рассмотрим несколько случаев:

1. Если a = b, тогда a - b = 0, и выражение будет равно 0.

2. Если a = -b, тогда a + b = 0, и выражение также будет равно 0.

3. Если a ≠ b и a ≠ -b, тогда a + b ≠ 0 и a - b ≠ 0. В этом случае, мы можем упростить выражение, поделив обе части на (a + b)(a - b):

((a + b)(a - b)) / ((a + b)(a - b)) = 1

Таким образом, выражение равно 1.

Выводы

Итак, у нас есть несколько возможных значений для выражения a^2 - b^2 / a^2 + b^2:

- Если a = b, выражение равно 0. - Если a = -b, выражение также равно 0. - Во всех остальных случаях, выражение равно 1.

Надеюсь, это подробное объяснение помогло вам понять решение данной задачи. Если у вас возникли еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.