Question

integral x*sin(1-x^2)dx

Answer 1

(1/2)*cos(1-x^2)+C

------------------------------------------------------------------

Answer 2

Для решения данного интеграла используем метод интегрирования по частям, который утверждает, что интеграл произведения двух функций равен произведению этих функций минус интеграл произведения производной первой функции и второй функции.

Интеграл x*sin(1-x^2)dx можно представить как произведение двух функций: u = x и dv = sin(1-x^2)dx. Тогда производная от u равна du = dx, а интеграл от dv равен v = -cos(1-x^2).

Применяя метод интегрирования по частям, получим: ∫x*sin(1-x^2)dx = -x*cos(1-x^2) - ∫(-cos(1-x^2))dx

Интеграл ∫(-cos(1-x^2))dx можно решить, заменив 1-x^2 = t: dt = -2x dx dx = -dt/(2x)

Тогда получим: ∫(-cos(1-x^2))dx = -∫cos(t) * (-dt/(2x)) = 1/2∫cos(t)dt

Интеграл ∫cos(t)dt равен sin(t), поэтому: ∫(-cos(1-x^2))dx = 1/2sin(t) + C = 1/2sin(1-x^2) + C

Таким образом, итоговый ответ на интеграл ∫x*sin(1-x^2)dx равен: -x*cos(1-x^2) - 1/2sin(1-x^2) + C, где C - произвольная постоянная.