Question

Найти общее решение уравнения у"-8у'=0

Answer 1

Линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка.
$y''-8y'=0\\\lambda^2-8\lambda=0\\\lambda(\lambda-8)=0\\\lambda_1=0\ \lambda_2=8\\y=C_1+C_2e^{8x}$

Answer 2

Чтобы найти общее решение уравнения у" - 8у' = 0, мы можем использовать метод интегрирования. Давайте посмотрим на каждый шаг подробнее.

Шаг 1: Находим производные

Первым шагом мы находим производные уравнения. В данном случае, у" представляет собой вторую производную у по отношению к независимой переменной (обычно это время или другая переменная). у' обозначает первую производную у по отношению к той же независимой переменной.

Шаг 2: Заменяем производные в уравнении

Теперь мы заменяем производные в исходном уравнении. У нас есть у" - 8у' = 0. Заменяем у" на вторую производную у и у' на первую производную у.

у'' - 8у' = 0

Шаг 3: Решаем уравнение

Для решения данного дифференциального уравнения, мы можем предположить, что решение имеет вид у = e^(rt), где r - неизвестная константа. Подставляем это предположение в исходное уравнение:

(e^(rt))'' - 8(e^(rt))' = 0

Шаг 4: Упрощаем выражение

Теперь мы выполняем дифференцирование и упрощение:

r^2e^(rt) - 8re^(rt) = 0

Шаг 5: Факторизуем и находим корни

Факторизуем уравнение и находим значения r:

r(r - 8) = 0

Таким образом, у нас есть два возможных значения для r: r = 0 и r = 8.

Шаг 6: Построение общего решения

Теперь мы можем использовать найденные значения r для построения общего решения. Общее решение будет иметь вид:

у = C1e^(0t) + C2e^(8t)

где C1 и C2 - произвольные константы, которые могут быть определены исходя из начальных условий или других ограничений задачи.

Таким образом, общее решение уравнения у" - 8у' = 0 выглядит следующим образом:

у = C1 + C2e^(8t)

где C1 и C2 - произвольные константы.