Question

В гирлянде 16 разноцветных лампочек и две не цветные лампочки. Скольк ими способами можно составить гирлянду так, чтобы не цветные лампочки рядом не располагались?

Answer 1

Сначала посмотрим сколькими способами можно расположить 16 разноцветных лампочек , а это 16!(16!=1*2*3*...*15*16), теперь рассмотрим как можно поставить "перегородки" , наши не цветные лампочки, а это 16+15+...+2+1 , остается перемножить эти два числа, т.к. на каждый вариант расположения цветных , есть 16+15+..+2+1 вариантов расположения "перегородок"
Ответ: 16!:(1+2+...+15+16)

Answer 2

Для решения этой задачи можно воспользоваться принципом упорядоченных размещений.

Для начала посчитаем количество способов разместить 16 разноцветных лампочек в гирлянде. Это можно сделать по формуле для упорядоченных размещений: A(n, k) = n! / (n-k)!

Где n - количество элементов, k - количество мест для размещения. В данном случае n=16 и k=16.

A(16, 16) = 16! / (16-16)! = 16!

Теперь посчитаем количество способов разместить две нецветные лампочки среди 17 мест (16 между разноцветными лампочками и 1 в начале или в конце гирлянды). Это также можно сделать по формуле для упорядоченных размещений: A(17, 2) = 17! / (17-2)!

A(17, 2) = 17! / 15!

Теперь найдем количество способов разместить разноцветные лампочки и нецветные лампочки так, чтобы нецветные лампочки не находились рядом. Для этого нужно вычесть количество "плохих" расстановок (когда нецветные лампочки находятся рядом) из общего количества способов.

"Плохие" расстановки можно найти по формуле: 16! - 17!

Теперь вычтем количество "плохих" расстановок из общего количества способов: 16! - 17! = 16! - (17! / 15!) = 16! - (17 * 16!) = 16! - 17 * 16!

Таким образом, количество способов составить гирлянду так, чтобы нецветные лампочки не находились рядом, равно: 16! - 17 * 16! = 16! * (1 - 17) = -16! * 16

Ответ: -16! * 16 = 0 (невозможно составить гирлянду так, чтобы нецветные лампочки не находились рядом)