Question

Найдите значение выражения а^6+3a^2b^2+b^6 если a^2+b^2=1

Answer 1

Найдите значение выражения $a^6+3a^2b^2+b^6,$если $a^2+b^2=1$

$a^6+3a^2b^2+b^6=(a^2)^3+(b^2)^3+3a^2b^2=$$=(a^2+b^2)(a^4-a^2b^2+b^4)+3a^2b^2=1*(a^4-a^2b^2+b^4)+3a^2b^2=$$=a^4-a^2b^2+b^4+3a^2b^2=a^4+b^4+2a^2b^2=(a^2+b^2)^2=1$

Answer 2

Для решения данной задачи, мы можем использовать знание о биноме Ньютона, который гласит, что для любых двух переменных a и b и положительного целого числа n, мы можем раскрыть выражение (a + b)^n в виде суммы биномиальных коэффициентов, умноженных на степени a и b. В данной задаче, у нас дано выражение a^6 + 3a^2b^2 + b^6, и также дано условие, что a^2 + b^2 = 1.

Раскрытие выражения (a + b)^6

Давайте раскроем выражение (a + b)^6, используя бином Ньютона:

(a + b)^6 = C(6,0) * a^6 * b^0 + C(6,1) * a^5 * b^1 + C(6,2) * a^4 * b^2 + C(6,3) * a^3 * b^3 + C(6,4) * a^2 * b^4 + C(6,5) * a^1 * b^5 + C(6,6) * a^0 * b^6

где C(n, k) обозначает биномиальный коэффициент "n по k" (или "n выбрать k"), который вычисляется как n! / (k! * (n-k)!). Здесь "!" обозначает факториал, то есть произведение всех положительных целых чисел от 1 до данного числа.

Вычисление биномиальных коэффициентов

Давайте вычислим биномиальные коэффициенты, используя формулу биномиального коэффициента:

C(6,0) = 6! / (0! * (6-0)!) = 1 C(6,1) = 6! / (1! * (6-1)!) = 6 C(6,2) = 6! / (2! * (6-2)!) = 15 C(6,3) = 6! / (3! * (6-3)!) = 20 C(6,4) = 6! / (4! * (6-4)!) = 15 C(6,5) = 6! / (5! * (6-5)!) = 6 C(6,6) = 6! / (6! * (6-6)!) = 1

Подстановка в исходное выражение

Теперь, мы можем подставить эти значения в исходное выражение a^6 + 3a^2b^2 + b^6:

a^6 + 3a^2b^2 + b^6 = 1 * a^6 * b^0 + 6 * a^5 * b^1 + 15 * a^4 * b^2 + 20 * a^3 * b^3 + 15 * a^2 * b^4 + 6 * a^1 * b^5 + 1 * a^0 * b^6

Упрощение выражения

Учитывая условие a^2 + b^2 = 1, мы можем заменить a^2 в исходном выражении на (1 - b^2):

a^6 + 3a^2b^2 + b^6 = 1 * a^6 * b^0 + 6 * a^5 * b^1 + 15 * a^4 * b^2 + 20 * a^3 * b^3 + 15 * a^2 * b^4 + 6 * a^1 * b^5 + 1 * a^0 * b^6 = a^6 * b^0 + 6 * a^5 * b^1 + 15 * a^4 * b^2 + 20 * a^3 * b^3 + 15 * (1 - b^2) * b^4 + 6 * a^1 * b^5 + 1 * a^0 * b^6 = a^6 + 6a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15b^4 - 15b^6 + 6ab^5 + b^6

Теперь мы можем сгруппировать подобные члены:

a^6 + 6a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15b^4 - 15b^6 + 6ab^5 + b^6 = (a^6 + 6a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 6ab^5) + (15b^4 - 14b^6 + b^6) = (a^6 + 6a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 6ab^5) + (15b^4 - 14b^6) = a^2(a^4 + 6a^3b + 15a^2b^2 + 20ab^3 + 6b^4) + b^4(15 - 14b^2)

Замена по условию

Мы можем заменить a^2 на (1 - b^2) в первой скобке:

a^2(a^4 + 6a^3b + 15a^2b^2 + 20ab^3 + 6b^4) = (1 - b^2)(a^4 + 6a^3b + 15a^2b^2 + 20ab^3 + 6b^4) = a^4 - a^2b^2 + 6a^3b + 6a^2b^3 + 15a^2b^2 - 15b^4 + 20ab^3 - 20ab^5 + 6b^4 - 6b^6

Теперь мы можем сгруппировать подобные члены:

a^4 - a^2b^2 + 6a^3b + 6a^2b^3 + 15a^2b^2 - 15b^4 + 20ab^3 - 20ab^5 + 6b^4 - 6b^6 = a^4 + 6a^3b - a^2b^2 + 6a^2b^3 + 15a^2b^2 - 15b^4 + 20ab^3 - 20ab^5 + 6b^4 - 6b^6 = a^4 + 6a^3b + 14a^2b^2 + 20ab^3 - 20ab^5 + 6b^4 - 6b^6

Окончательный результат

Таким образом, значение выражения a^6 + 3a^2b^2 + b^6 при условии a^2 + b^2 = 1 равно a^4 + 6a^3b + 14a^2b^2 + 20ab^3 - 20ab^5 + 6b^4 - 6b^6.