Question

lim(arcsin5x/sin3x) х стремится к нулю

Answer 1

используя замечательные пределы

$lim_{x->0} \frac {arcsin(5x)} {sin(3x)}= lim_{x->0} \frac {arcsin(5x) *3x * 5}{sin(3x)*5x*3}= lim_{x->0} \frac {arcsin(5x)}{5x} lim_{x->0} \frac {3x}{sin(3x)}*lim_{x->0} \frac {5}{3}= 1*1*\frac {5}{3}=\frac {5}{3}$

Answer 2

Чтобы рассчитать предел функции lim(arcsin(5x)/sin(3x)) при x стремящемся к нулю, мы можем использовать правило Лопиталя или разложение в ряд Тейлора для синуса и арксинуса.

Использование правила Лопиталя:

1. Найдем производные числителя и знаменателя функции. По правилу дифференцирования, производная arcsin(5x) равна 5/sqrt(1 - (5x)^2), а производная sin(3x) равна 3cos(3x).

2. Теперь вычислим предел отношения производных при x стремящемся к нулю:

lim(5/sqrt(1 - (5x)^2)) / (3cos(3x))

Подставив x = 0, получаем:

lim(5/sqrt(1 - (5*0)^2)) / (3cos(3*0)) = lim(5/sqrt(1 - 0)) / (3cos(0)) = lim(5/1) / (3*1) = 5/3

Таким образом, предел функции lim(arcsin(5x)/sin(3x)) при x стремящемся к нулю равен 5/3.

Использование разложения в ряд Тейлора:

1. Разложим функции arcsin(5x) и sin(3x) в ряд Тейлора в окрестности x = 0:

arcsin(5x) = 5x + (1/6)(5x)^3 + (3/40)(5x)^5 + ...

sin(3x) = 3x - (1/3!)(3x)^3 + (1/5!)(3x)^5 - ...

2. Теперь вычислим предел отношения разложенных функций при x стремящемся к нулю:

lim((5x + (1/6)(5x)^3 + (3/40)(5x)^5 + ...) / (3x - (1/3!)(3x)^3 + (1/5!)(3x)^5 - ...))

Подставив x = 0, получаем:

lim((5x + (1/6)(5x)^3 + (3/40)(5x)^5 + ...) / (3x - (1/3!)(3x)^3 + (1/5!)(3x)^5 - ...)) = lim((0 + 0 + 0 + ...) / (0 + 0 + 0 - ...)) = 0 / 0

Получили неопределенность 0/0. Для решения этой неопределенности можно продолжить разложение в ряд Тейлора и взять первые несколько членов разложения, чтобы получить приближенное значение предела.

Например, если мы возьмем первые два члена разложения, то получим:

lim((5x + (1/6)(5x)^3) / (3x - (1/3!)(3x)^3)) = lim(5x + (1/6)(5x)^3) / (3x - (1/3!)(3x)^3) = 0

Таким образом, приближенное значение предела функции lim(arcsin(5x)/sin(3x)) при x стремящемся к нулю равно 0.

Обратите внимание, что использование правила Лопиталя и разложения в ряд Тейлора может быть полезным при вычислении пределов функций, особенно в случаях, когда непосредственное подстановка значение x приводит к неопределенности. Однако, для данного конкретного примера, правило Лопиталя дает точный ответ 5/3, в то время как разложение в ряд Тейлора дает приближенное значение 0.