Question

(a+b)^6 = ? (a+b)^7 = ? (a+b)^8 = ? (a+b)^9 = ?

Answer 1

$(a+b)^6 = a^6+6a^5b+15a^4b^2+20a^3b^3+15a^2b^4+6ab^5+b^6, \\ (a+b)^7 = a^7+7a^6b+21a^5b^2+35a^4b^3+35a^3b^4+21a^2b^5+7ab^6+b^7, \\ (a+b)^8=a^8+8a^7b+28a^6b^2+56a^5b^3+70a^4b^4+56a^3b^5+28a^2b^6+\\+8ab^7+b^8,$

Answer 2

Раскрытие выражения вида $(a+b)^n$ включает в себя применение биномиальной теоремы, которая гласит:

$$(a+b)^n = C(n, 0)a^n b^0 + C(n, 1)a^{n-1} b^1 + C(n, 2)a^{n-2} b^2 + \ldots + C(n, n-1)a^1 b^{n-1} + C(n, n)a^0 b^n$$

где $C(n, k)$ обозначает биномиальный коэффициент, равный $\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Раскрытие $(a+b)^6$

Для $(a+b)^6$ применяем биномиальную теорему:

$$(a+b)^6 = C(6, 0)a^6 b^0 + C(6, 1)a^5 b^1 + C(6, 2)a^4 b^2 + C(6, 3)a^3 b^3 + C(6, 4)a^2 b^4 + C(6, 5)a^1 b^5 + C(6, 6)a^0 b^6$$

Вычисляем биномиальные коэффициенты:

$$C(6, 0) = 1$$ $$C(6, 1) = 6$$ $$C(6, 2) = 15$$ $$C(6, 3) = 20$$ $$C(6, 4) = 15$$ $$C(6, 5) = 6$$ $$C(6, 6) = 1$$

Подставляем значения:

$$(a+b)^6 = 1 \cdot a^6 b^0 + 6 \cdot a^5 b^1 + 15 \cdot a^4 b^2 + 20 \cdot a^3 b^3 + 15 \cdot a^2 b^4 + 6 \cdot a^1 b^5 + 1 \cdot a^0 b^6$$

Упрощаем:

$$(a+b)^6 = a^6 + 6a^5 b + 15a^4 b^2 + 20a^3 b^3 + 15a^2 b^4 + 6ab^5 + b^6$$

Раскрытие $(a+b)^7$

Применяем биномиальную теорему для $(a+b)^7$:

$$(a+b)^7 = C(7, 0)a^7 b^0 + C(7, 1)a^6 b^1 + C(7, 2)a^5 b^2 + C(7, 3)a^4 b^3 + C(7, 4)a^3 b^4 + C(7, 5)a^2 b^5 + C(7, 6)a^1 b^6 + C(7, 7)a^0 b^7$$

Вычисляем биномиальные коэффициенты:

$$C(7, 0) = 1$$ $$C(7, 1) = 7$$ $$C(7, 2) = 21$$ $$C(7, 3) = 35$$ $$C(7, 4) = 35$$ $$C(7, 5) = 21$$ $$C(7, 6) = 7$$ $$C(7, 7) = 1$$

Подставляем значения:

$$(a+b)^7 = 1 \cdot a^7 b^0 + 7 \cdot a^6 b^1 + 21 \cdot a^5 b^2 + 35 \cdot a^4 b^3 + 35 \cdot a^3 b^4 + 21 \cdot a^2 b^5 + 7 \cdot a^1 b^6 + 1 \cdot a^0 b^7$$

Упрощаем:

$$(a+b)^7 = a^7 + 7a^6 b + 21a^5 b^2 + 35a^4 b^3 + 35a^3 b^4 + 21a^2 b^5 + 7ab^6 + b^7$$

Раскрытие $(a+b)^8$

Применяем биномиальную теорему для $(a+b)^8$:

$$(a+b)^8 = C(8, 0)a^8 b^0 + C(8, 1)a^7 b^1 + C(8, 2)a^6 b^2 + C(8, 3)a^5 b^3 + C(8, 4)a^4 b^4 + C(8, 5)a^3 b^5 + C(8, 6)a^2 b^6 + C(8, 7)a^1 b^7 + C(8, 8)a^0 b^8$$

Вычисляем биномиальные коэффициенты:

$$C(8, 0) = 1$$ $$C(8, 1) = 8$$ $$C(8, 2) = 28$$ $$C(8, 3) = 56$$ $$C(8, 4) = 70$$ $$C(8, 5) = 56$$ $$C(8, 6) = 28$$ $$C(8, 7) = 8$$ $$C(8, 8) = 1$$

Подставляем значения:

$$(a+b)^8 = 1 \cdot a^8 b^0 + 8 \cdot a^7 b^1 + 28 \cdot a^6 b^2 + 56 \cdot a^5 b^3 + 70 \cdot a^4 b^4 + 56 \cdot a^3 b^5 + 28 \cdot a^2 b^6 + 8 \cdot a^1 b^7 + 1 \cdot a^0 b^8$$

Упрощаем:

$$(a+b)^8 = a^8 + 8a^7 b + 28a^6 b^2 + 56a^5 b^3 + 70a^4 b^4 + 56a^3 b^5 + 28a^2 b^6 + 8ab^7 + b^8$$

Раскрытие $(a+b)^9$

Применяем биномиальную теорему для $(a+b)^9$:

$$(a+b)^9 = C(9, 0)a^9 b^0 + C(9, 1)a^8 b^1 + C(9, 2)a^7 b^2 + C(9, 3)a^6 b^3 + C(9, 4)a^5 b^4 + C(9, 5)a^4 b^5 + C(9, 6)a^3 b^6 + C(9, 7)a^2 b^7 + C(9, 8)a^1 b^8 + C(9, 9)a^0 b^9$$

Вычисляем биномиальные коэффициенты:

$$C(9, 0) = 1$$ $$C(9, 1) = 9$$ $$C(9, 2) = 36$$ $$C(9, 3) = 84$$ $$C(9, 4) = 126$$ $$C(9, 5) = 126$$ $$C(9, 6) = 84$$ $$C(9, 7) = 36$$ $$C(9, 8) = 9$$ $$C(9, 9) = 1$$

Подставляем значения:

$$(a+b)^9 = 1 \cdot a^9 b^0 + 9 \cdot a^8 b^1 + 36 \cdot a^7 b^2 + 84 \cdot a^6 b^3 + 126 \cdot a^5 b^4 + 126 \cdot a^4 b^5 + 84 \cdot a^3 b^6 + 36 \cdot a^2 b^7 + 9 \cdot a^1 b^8 + 1 \cdot a^0 b^9$$

Упрощаем:

$$(a+b)^9 = a^9 + 9a^8 b + 36a^7 b^2 + 84a^6 b^3 + 126a^5 b^4 + 126a^4 b^5 + 84a^3 b^6 + 36a^2 b^7 + 9ab^8 + b^9$$

Таким образом, раскрытие выражений