Question

Найти m+n, если x^3+2nx^2+mx+5 делится на x^2-1 без остатка

Answer 1

По условию x^3+2nx^2+mx+5 делится на x^2-1. Из этого следует, что это выражение можно представить в виде x^3+2nx^2+mx+5=(x^2-1)*k, где k - какое-то выражение, являющееся частным от деления. Чтобы было понятнее, приведу пример: можно говорить о том, что выражение 2x^4-10x^3+6x+8 делится на 2, потому что его можно представить в виде 2(x^4-5x^3+3x+4). Аналогично для исходного выражения. Тогда я пытаюсь представить в таком виде при помощи группировки: x^3+mx+2nx+5=x(x^2+m)+2n(x^2+2n/5). Чтобы привести к нужному нам виду, ясно, что m должно быть равно -1 (тогда (скобка x^2+m будет иметь нужный нам вид x^2-1) и 2n/5 должно быть равно -1, т.е. n=-2,5. Тогда исходное выражение будет иметь вид: x^3-5x^2-x+5. Проверим, делится ли оно на x^2-1. Да, делится, будет получаться x-5 (можете проверить). Тогда m+n=-1+(-2,5)=-3,5
По сути, решено подбором, но вроде все правильно

Answer 2

Для того чтобы найти значения m и n, при которых полином x^3 + 2nx^2 + mx + 5 делится на x^2 - 1 без остатка, мы можем воспользоваться методом деления многочленов.

Метод деления многочленов Метод деления многочленов позволяет найти частное и остаток от деления одного многочлена на другой. В данном случае, мы хотим найти значения m и n, при которых полином x^3 + 2nx^2 + mx + 5 делится на x^2 - 1 без остатка.

Шаг 1: Запись полиномов Запишем полиномы в виде:

Делимое: x^3 + 2nx^2 + mx + 5 Делитель: x^2 - 1

Шаг 2: Выполнение деления Выполним деление многочленов поэтапно:

x + 2n ___________________ x^2 - 1 | x^3 + 2nx^2 + mx + 5 - (x^3 - x) ____________ 2nx^2 + mx + 5 + x - (2nx^2 - 2n) _____________ mx + 5 + x + 2n - (mx - m) _____________ 5 + x + 2n + m

Шаг 3: Проверка условия без остатка Для того чтобы полином x^3 + 2nx^2 + mx + 5 делился на x^2 - 1 без остатка, остаток должен быть равен нулю. То есть, необходимо, чтобы 5 + x + 2n + m = 0.

Шаг 4: Нахождение m и n Из условия без остатка, мы получаем уравнение 5 + x + 2n + m = 0. Мы можем выбрать значения x, например x = 1, и решить это уравнение относительно m и n.

5 + 1 + 2n + m = 0

Таким образом, m + 2n = -6.

Выберем произвольное значение для m, например m = 1. Мы можем решить это уравнение относительно n:

1 + 2n = -6 2n = -7 n = -7/2

Таким образом, при m = 1 и n = -7/2, полином x^3 + 2nx^2 + mx + 5 делится на x^2 - 1 без остатка.

Ответ Значения m и n, при которых полином x^3 + 2nx^2 + mx + 5 делится на x^2 - 1 без остатка, равны m = 1 и n = -7/2.