Question

Докажите,что сумма пяти последовательных нечетных чисел делится на 5

Answer 1

Например:
Возьмем пять нечетных последовательный чисел и сложим их
1.) 1+3+5+7+9=15
Потом делим получившуюся сумму на 5 
15 / 5 = 3 
2.) 21+23+25+27+29= 125 
125 / 5 = 25
Из этого выходит что любая последовательность пяти нечетных чисел имеет в последнем разряде (единиц) число 5 , и делится на 5.

Answer 2

Чтобы доказать, что сумма пяти последовательных нечетных чисел делится на 5, мы можем воспользоваться методом математической индукции.

Для начала, давайте обозначим первое нечетное число как n. Тогда следующие четыре нечетных числа будут n+2, n+4, n+6 и n+8.

Базовый шаг:

Проверим, выполняется ли утверждение для n = 1. Подставим значения в формулу и посчитаем сумму пяти последовательных нечетных чисел:

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

Мы видим, что 25 делится на 5 без остатка.

Предположение индукции:

Предположим, что для некоторого k, сумма пяти последовательных нечетных чисел, начиная с числа 2k-1, делится на 5.

Индукционный шаг:

Докажем, что если предположение индукции выполняется для k, то оно выполняется и для k+1. Рассмотрим сумму пяти последовательных нечетных чисел, начиная с числа 2(k+1)-1:

(2(k+1)-1) + (2(k+1)+1) + (2(k+1)+3) + (2(k+1)+5) + (2(k+1)+7)

Упростим это выражение:

(2k+1) + (2k+3) + (2k+5) + (2k+7) + (2k+9)

Каждый член этой суммы можно представить как (2k-1) + 2. Тогда выражение примет вид:

(2k-1) + 2 + (2k-1) + 2 + (2k-1) + 2 + (2k-1) + 2 + (2k-1) + 2

Сгруппируем члены:

5(2k-1) + 10

Мы видим, что полученное выражение представляет собой сумму пяти последовательных нечетных чисел, начиная с числа 2k+1, умноженную на 5 и с добавленным слагаемым 10.

По предположению индукции, сумма пяти последовательных нечетных чисел, начиная с числа 2k-1, делится на 5. Тогда, умножение этой суммы на 5 также даст число, которое делится на 5 без остатка. Добавление слагаемого 10 не изменит деления на 5.

Таким образом, мы доказали, что если утверждение верно для k, то оно верно и для k+1. Базовый шаг и индукционный шаг завершены, что позволяет нам заключить, что утверждение выполняется для всех натуральных чисел.

Следовательно, сумма пяти последовательных нечетных чисел всегда будет делиться на 5.