Question

На доске записаны числа от 1 до 2073. Разрешается стереть любые два числа и написать вместо них разность этих чисел. Можно ли добиться того чтобы все числа были нулями?

Answer 1

Поскольку 2073/2=1036, ост. 1, на доске написано 1037 нечетных чисел. Заметим, что при стирании двух четных чисел мы получаем четное число и количество нечетных чисел на доске не меняется. При стирании четного и нечетного числа получается нечетное число, поэтому количество нечетных чисел на доске не меняется. Наконец, при стирании двух нечетных чисел получается четное число и число нечетных чисел уменьшается на 2. Таким образом, при любых действиях с числами количество нечетных чисел либо не меняется, либо уменьшается на 2, поэтому оно всегда останется четным. Следовательно, невозможна ситуация, когда все числа на доске равны 0 и среди них нет ни одного нечетного числа.

Ответ: нет, нельзя.