Question

Помогите пожалуйста! Решить дифференциальное уравнение первого порядка: 1) найти общий интеграл, 2) найти частное решение дифференциального уравнения а) 2х^2*y'=y^2+4xy, б) y'tgx-y=1, y(П/2)=1

Answer 1

$\displaystyle 2x^2y'=y^2+4xy\\y=tx;y'=t'x+t\\2x^2(t'x+t)=t^2x^2+4tx^2|:x^2\\2t'x+2t=t^2+4t\\\frac{2xdt}{dx}=t^2+2t|*\frac{dx}{2x(t^2+2t)}\\\frac{dx}{2x}=\frac{dt}{t^2+2t}\\t^2+2t=0\\t=0\ \ \ \ \ \ \ ;t=-2\\y=0\ \ \ \ \ \ ;y=-2x\\0=0+0\ ;-4x^2=4x^2-8x^2\\0=0\ \ \ \ \ \ ;0=0\\\\\\\int\frac{dx}{x}=\int(\frac{1}{t}-\frac{1}{t+2})dt\\ln|x|=ln|t|-ln|t+2|+C\\ln|x|=ln|\frac{y}{x}|-ln|\frac{y+2x}{x}|+lnC\\ln|x|=ln|\frac{Cy}{y+2x}|\\x=\frac{Cy}{y+2x}\\y=\frac{2x^2}{C-x};y=0$
Можно было конечно решить , как уравнение Бернулли.

$y'tgx-y=1\\y=uv;y'=u'v+v'u\\tg\ x*u'v+tg\ x*v'u-uv=1\\tg\ x*u'v+u(tg\ x*v'-v)=1\\\begin{cases}tg\ x*v'-v=0\\tg\ x*u'v=1\end{cases}\\\frac{tg\ x*dv}{dx}-v=0|*\frac{ctg\ x*dx}{v}\\\frac{dv}{v}=ctg\ x\ dx\\\int\frac{dv}{v}=\int ctg\ x\ dx\\ln|v|=ln|sinx|\\v=sinx\\\frac{sin^2x*du}{cosx*dx}=1|*\frac{cosxdx}{sin^2x}\\du=\frac{cosx}{sin^2x}dx\\\int du=\int\frac{cosx}{sin^2x}dx\\u=-\frac{1}{sinx}+C\\y=-1+Csinx\\y(\frac{\pi}{2})=1\\1=-1+C\\C=2\\y=-1+2sinx$