Question

В пирамиде ABCD рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, а AB = BC = AC = 10. а) Докажите, что эта пирамида правильная. б) На рёбрах DA и DC отмечены точки M и N соответственно, причём DM:MA = DN:NC = 3:2. Найдите площадь сечения MNB.

Answer 1

1. Для наглядности сделаем вот такой рисунок. На нашем рисунке пирамида положена на боковую грань. Перпендикулярные грани нам видны. Видим основание пирамиды- равносторонний треугольник, так как по условию АВ=ВС=АС. 

Рассмотрим ΔADB, ΔADC. 

AB=AC, ∠ADB=∠ADC=90°- по условию. AD-общий катет⇒

прямоугольные ΔADB=ΔADC 

Рассмотрим ΔADC, ΔBDC.

AC=BC, ∠ADC=∠BDC=90° -по условию, DC-общий катет⇒

прямоугольные ΔADC=ΔBDC.

Рассмотрим ΔBDC и ΔADB.

CB=AB, ∠BDC=∠ADB=90° -по условию, DB-общий катет⇒

прямоугольные ΔBDC=ΔADB ⇒

AD=DC=DB-боковые ребра пирамиды равны, боковые грани- равнобедренные равные треугольники ΔADB=ΔADC=ΔBDC⇒вершина пирамиды проецируется в центр  ΔABC (если ребра равны, их проекции также равны)⇒  АВСD-правильная пирамида.

2. Рассмотрим ΔАDС. АD=DС как ребра правильной пирамиды, значит ΔАDС-равнобедренный.
DM:MA=DN:NC=3:2, значит  ΔDMN подобен ΔADC.
DN :MN =DC :AC ⇒  
3/MN=5/10
MN=3*10/5=6
AC²=2DC²⇒ DC=√AC²/2=√50=5√2, тогда DN=5√2/5*3=3√2
BD=DC  BN=√(BD²+DN²)=√25*2+9*2=2√17

Опустим высоту ВН на основание MN

BH=√(BN²-HN²)=√(4*17-3²)=√68-9=√59

S BMN=1/2BH*MN=1/2*6*√59=3√59

Ответ: S BMN=3√59