Question

В школе подготовки к математическим олимпиадам занимаются 10 мальчиков и 1 девочка. Назовем компанией любую группу участников этой школы, состоящую из трех и более человек. На сколько компаний с девочкой больше, чем компаний, состоящих из одних мальчиков?

Answer 1

Добавляя к любой компании, состоящей только из мальчиков, девочку, будем получать компанию с девочкой. Но есть еще компании с девочкой, в которых два мальчика - таких компаний $C_{10}^2=\frac{10\cdot 9}{2}=45.$ Поэтому компаний с девочкой на 45 больше, чем компаний без девочки.

Замечание. Кто не проходил числа сочетаний, может рассуждать так: одного мальчика можно выбрать 10 способами, после чего второго мальчика можно выбрать 9 способами. При этом мы могли получить пару мальчиков (A,B), а могли - пару (B,A). Поскольку порядок, в котором мы выбирали мальчиков, нас не интересует, множество получившихся пар $10\cdot 9=90$ мы делим на два.

Ответ: 45