Question

Производная от tg(Пx/2)

Answer 1

Производная от тангенса имеет вид:
$(tg \alpha )'=\frac{1}{cos^2( \alpha )}$
Соответственно, производная от тангенса из условия будет:
$(tg( \frac{\pi *a}{2}))'=(\frac{1}{cos^2(\frac{\pi*a}{2})})*(\frac{\pi*a}{2})'=\\ =(\frac{1}{cos^2(\frac{\pi*a}{2})})*(\frac{(\pi*a)'}{2})=\\ =(\frac{1}{cos^2(\frac{\pi*a}{2})})*\frac{\pi*(a)'}{2}=\\ =(\frac{1}{cos^2(\frac{\pi*a}{2})})*\frac{\pi}{2}=\\ =\frac{\pi}{2*cos^2(\frac{\pi*a}{2})}$
Следует знать,что производная от констант (в нашем случае константа одна: π) всегда равна нулю. α в нашем случае - это независимая переменная, производная от нее равна единице. Производная от дроби с переменной α в числителе равна этой самой дроби умноженной на производную от переменной α. ($( \frac{\alpha }{2})'=\frac{ 1 }{2}*( \alpha )'$)

Answer 2

(1/(cos(Пх/2))^2)*П/2

Answer 3

Давайте найдем производную от \( \tan\left(\frac{x}{2}\right) \).

Обозначим функцию \( f(x) = \tan\left(\frac{x}{2}\right) \). Тогда производная функции по \( x \) обозначается как \( f'(x) \) и вычисляется с использованием правила дифференцирования композиции функций (цепного правила) и правила дифференцирования тангенса.

1. Начнем с функции \( g(u) = \tan(u) \), где \( u = \frac{x}{2} \). Её производная по \( u \) равна \( g'(u) = \sec^2(u) \).

2. Теперь применим цепное правило. У нас есть композиция функций: \( f(x) = g(u) \), где \( u = \frac{x}{2} \). Производная композиции функций \( f'(x) \) равна произведению производной внешней функции \( g(u) \) по \( u \) на производную внутренней функции \( u(x) \) по \( x \).

\[ f'(x) = g'(u) \cdot u'(x) \]

3. Подставим значения:

\[ f'(x) = \sec^2\left(\frac{x}{2}\right) \cdot \frac{1}{2} \]

Таким образом, производная функции \( \tan\left(\frac{x}{2}\right) \) равна \( \frac{\sec^2\left(\frac{x}{2}\right)}{2} \).