Question

Помогите пожалуйста очень срочно! Найти производную -16x/x^2-4)^2

Answer 1

Решение задания смотри на фотографии

Answer 2

Конечно, давайте найдем производную функции \( f(x) = \left(-\frac{16x}{x^2-4}\right)^2 \).

Для удобства воспользуемся правилом производной композиции функций (цепного правила). Пусть у нас есть функции \( u(x) = -\frac{16x}{x^2-4} \) и \( v(u) = u^2 \). Тогда производная композиции \( v(u(x)) \) равна произведению производной внешней функции \( v \) по её аргументу \( u \) и производной внутренней функции \( u \) по её аргументу \( x \):

\[ \frac{d}{dx}\left(v(u(x))\right) = \frac{dv}{du} \cdot \frac{du}{dx} \]

1. Найдем производную внешней функции \( v(u) = u^2 \) по её аргументу \( u \):

\[ \frac{dv}{du} = 2u \]

2. Теперь найдем производную внутренней функции \( u(x) = -\frac{16x}{x^2-4} \) по её аргументу \( x \). Здесь пригодится правило дифференцирования частного и цепного правила:

\[ \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}\left(-\frac{16x}{x^2-4}\right) \]

Разбиваем на две части: \( u = -\frac{16x}{x^2-4} = -16x(x^2-4)^{-1} \). Теперь используем правило производной частного:

\[ \frac{du}{dx} = -16\left[(x^2-4)^{-1}\right]'x + (-16x)'(x^2-4)^{-1} \]

Посчитаем производные:

- Для первого слагаемого используем правило дифференцирования сложной функции и степенного правила:

\[ \left[(x^2-4)^{-1}\right]' = -(x^2-4)^{-2} \cdot (2x) = -\frac{2x}{(x^2-4)^2} \]

- Для второго слагаемого просто используем правило дифференцирования по переменной \( x \):

\[ (-16x)' = -16 \]

Подставляем оба слагаемых обратно в выражение для \( \frac{du}{dx} \):

\[ \frac{du}{dx} = -16 \left(-\frac{2x}{(x^2-4)^2}\right)x + (-16)(x^2-4)^{-1} \]

Упростим:

\[ \frac{du}{dx} = \frac{32x^2}{(x^2-4)^2} + \frac{16}{x^2-4} \]

Теперь подставим оба значения в формулу для производной композиции:

\[ \frac{d}{dx}\left[\left(-\frac{16x}{x^2-4}\right)^2\right] = 2\left(-\frac{16x}{x^2-4}\right) \left(\frac{32x^2}{(x^2-4)^2} + \frac{16}{x^2-4}\right) \]

Упростим выражение:

\[ \frac{d}{dx}\left[\left(-\frac{16x}{x^2-4}\right)^2\right] = -\frac{32x^2(16x)}{(x^2-4)^2} - \frac{32(16)(x)}{x^2-4} \]

Теперь можно провести дополнительные упрощения, если необходимо. Это выражение представляет собой производную исходной функции по переменной \( x \).