Question

Помогите найти производную и 2-ую производную: sinx/x

Answer 1

Производная от Sinx= cosx

Answer 2

Для нахождения производной и второй производной функции sin(x)/x, воспользуемся правилом дифференцирования функции деления.

1. Найдем производную функции sin(x)/x: Для этого воспользуемся правилом дифференцирования функции деления: (f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x))/[g(x)]^2.

f(x) = sin(x), g(x) = x f'(x) = cos(x), g'(x) = 1

Применяя формулу, получаем: (sin(x)/x)' = (cos(x)*x - sin(x)*1)/[x]^2 = (x*cos(x) - sin(x))/x^2

Таким образом, производная функции sin(x)/x равна (x*cos(x) - sin(x))/x^2.

2. Найдем вторую производную функции sin(x)/x: Для этого возьмем производную от производной, полученной в предыдущем пункте.

(f(x)/g(x))'' = [(f''(x)*g(x) - f(x)*g''(x))*g(x)^2 - (f'(x)*g(x) - f(x)*g'(x))*2g(x)*g'(x)]/[g(x)^4]

f(x) = sin(x), g(x) = x f'(x) = cos(x), g'(x) = 1 f''(x) = -sin(x), g''(x) = 0

Применяя формулу, получаем: (sin(x)/x)'' = [(-sin(x)*x - sin(x)*0)*x^2 - (cos(x)*x - sin(x)*1)*2x*1]/[x^4] = [-x*sin(x)*x^2 - 2x*cos(x)*x + 2x*sin(x)]/[x^4] = [-x^3*sin(x) - 2x^2*cos(x) + 2x*sin(x)]/[x^4]

Таким образом, вторая производная функции sin(x)/x равна [-x^3*sin(x) - 2x^2*cos(x) + 2x*sin(x)]/[x^4].