Question

У приведённого многочлена четвёртой степени ровно четыре различных Корея , образующих геометрическую прогрессию. Коэффициент многочлена при Х равен 6, свободный член равен 9. Чему может быть равен коэффициент при Х^3? Если возможному ответов несколько , укажите их в любом порядке. ОЛИМПИАДНОЕ ЗАДАНИЕ, ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА

Answer 1

Приведенный многочлен 4 степени:
x^4+bx^3+cx^2+6x+9=0
4 корня - действительные и образуют геометрическую прогрессию
(x - x1)(x - x2)(x - x3)(x - x4) = 0
x1 = a; x2 = a*q; x3 = a*q^2; x4 = a*q^3  (1)
Составим систему по теореме Виета для уравнения 4 степени
{ x1 + x2 + x3 + x4 = -b
{ x1*x2 + x1*x3 + x1*x4 + x2*x3 + x2*x4 + x3*x4 = c
{ x1*x2*x3 + x1*x2*x4 + x1*x3*x4 + x2*x3*x4 = -6
{ x1*x2*x3*x4 = 9
Подставляем выражения из (1). Нас интересует 1, 3 и 4 уравнения.
{ a + a*q + a*q^2 + a*q^3 = -b
{ a*a*q*a*q^2 + a*a*q*a*q^3 + a*a*q^2*a*q^3 + a*q*a*q^2*a*q^3 = -6
{ a*a*q*a*q^2*a*q^3 = 9
Выносим общие множители и приводим подобные
{ a*(1 + q + q^2 + q^3) = -b
{ a^3*q^3*(1 + q + q^2 + q^3) = -6
{ a^4*q^6 = (a^2*q^3)^2 = 9
Выражаем (1 + q + q^2 + q^3) из 1 уравнения и подставляем во 2 уравнение
{ 1 + q + q^2 + q^3 = -b/a
{ a^3*q^3*(-b/a) = -b*a^2*q^3 = -6
{ a^2*q^3 = √9 = 3 или -3
Получаем
b1 = 6/(a^2*q^3) = 6/3 = 2
b2 = 6/(a^2*q^3) = 6/(-3) = -2
Ответ: коэффициент при x^3 может быть равен -2 или 2.

Answer 2

Problem Analysis

We are given a polynomial of degree 4 with four distinct roots that form a geometric progression. The coefficient of the term with degree 1 is 6, and the constant term is 9. We need to find the possible values of the coefficient of the term with degree 3.

Solution

Let's denote the four roots of the polynomial as a, ar, ar^2, and ar^3, where a is the first term and r is the common ratio of the geometric progression.

Since the polynomial has four distinct roots, we can write it in factored form as follows:

(x - a)(x - ar)(x - ar^2)(x - ar^3) = 0

Expanding this equation, we get:

x^4 - (a + ar + ar^2 + ar^3)x^3 + (a^2r^3 + a^2r^2 + a^2r + ar^3 + ar^2 + ar)x^2 - (a^3r^6 + a^3r^4 + a^3r^2 + a^3 + a^2r^5 + a^2r^3 + a^2r + ar^4 + ar^2 + a)x + a^4r^6 = 0

Comparing this equation with the given polynomial, we can determine the coefficients of the polynomial:

- The coefficient of x^3 is -(a + ar + ar^2 + ar^3). - The coefficient of x^2 is a^2r^3 + a^2r^2 + a^2r + ar^3 + ar^2 + ar. - The coefficient of x is **-(a^3r^6 + a^3r^4 + a^