Question

Плоскость альфа проходит через основание АД трапеции АВСД. М и N - середины боковых сторон трапеции. докажите, что МN// альфа. найдите АД, если ВС =4см MN=6 см

Answer 1

Если пряма параллельно какой-либо прямой,лежащей в плоскости, то эта прямая параллельна самой плоскости.
1) А  у нас MN||AD , AD⊂α ⇒MN||α
2) (BC + AD)/2 = MN
    (4 + AD)/2 = 6 ⇒ 4 + AD = 12 ⇒ AD = 8

Answer 2

Для доказательства того, что отрезок MN параллелен плоскости α, мы можем воспользоваться теоремой Таллеса. Теорема Таллеса гласит, что если в треугольнике две стороны пропорциональны отрезкам, проведенным из вершины треугольника к противоположным сторонам, то эти стороны параллельны.

Обозначим длину отрезка AD через h, а длину отрезка BC через a. Также обозначим точки пересечения боковых сторон трапеции с отрезком MN как P и Q, где P - точка на боковой стороне AB, а Q - точка на боковой стороне CD.

Известно, что MN - средняя линия трапеции ABCD, и поэтому MP = NQ.

Теперь рассмотрим треугольники ADP и BCQ. В этих треугольниках у нас есть:

1. \( \frac{MP}{AD} = \frac{NQ}{BC} \) (по определению средней линии в треугольнике).

2. \( \frac{MP}{AD} = \frac{1}{2} \) (по определению серединной линии в трапеции).

3. \( \frac{NQ}{BC} = \frac{1}{2} \) (так как MP = NQ).

Таким образом, \( \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \), что подтверждает пропорциональность сторон треугольников ADP и BCQ.

Следовательно, по теореме Таллеса отрезок MN параллелен отрезку BC, а значит, он параллелен и плоскости α.

Теперь, чтобы найти длину отрезка AD, мы можем воспользоваться подобием треугольников. Треугольники ADP и BCQ подобны, так как у них одинаковые углы (по тому же принципу, что и в доказательстве параллельности).

Отношение подобия сторон равно отношению соответствующих сторон:

\(\frac{AD}{BC} = \frac{h}{a} = \frac{MP}{NQ} = \frac{1}{1} \) (так как MP = NQ).

Теперь мы можем найти длину отрезка AD:

\[h = a.\]

Дано, что \(BC = 4 \, см\), поэтому \(h = 4 \, см\).

Таким образом, отрезок \(AD = h = 4 \, см\).