Question

Исследовать сходимость несобственного интеграла 1/(x^3-1)^(1/8) int от 2 до +бескон

Answer 1

Расходится в бесконечности:
1/(x^3-1)^(1/8) > 1/(x^3)^(1/8) = 1/x^(3/8).

Известно, что на бесконечности интегралы от 1/x^a расходятся при a <= 1, тогда расходится и заданный интеграл.

Answer 2

Для исследования сходимости несобственного интеграла \(\int_{2}^{\infty} \frac{1}{(x^3-1)^{1/8}}dx\), мы можем использовать метод сравнения.

Прежде всего, мы можем заметить, что подынтегральная функция \(\frac{1}{(x^3-1)^{1/8}}\) является положительной на всем промежутке интегрирования [2, \(\infty\)].

Затем, мы можем найти предел от этой функции по мере \(x\), стремящемся к бесконечности:

\[\lim_{{x \to \infty}} \frac{1}{(x^3-1)^{1/8}} = \lim_{{x \to \infty}} \frac{1}{x^{3/8}(1-\frac{1}{x^3})^{1/8}}. \]

Заметим, что степень \(x\) в числителе и знаменателе равны 3/8.

Теперь, мы можем использовать известный факт о степенных пределах:

\[\lim_{{x \to \infty}} \frac{1}{(x^3-1)^{1/8}} = \lim_{{x \to \infty}} \frac{\frac{1}{x^{3/8}}}{\left(1-\frac{1}{x^3}\right)^{1/8}} = \frac{1}{1^{1/8}} = 1. \]

Затем, мы можем сравнить наш несобственный интеграл с интегралом \( \int_{2}^{\infty} \frac{1}{x^{3/8}}dx\). Этот интеграл является сходящимся, потому что его показательная функция имеет степень меньше 1 (3/8).

Таким образом, сходимость нашего несобственного интеграла будет также сходящейся.