Question

Найдите третий член бесконечной геометрической прогрессии, сумма которой равна 8/5 , а второй член равен (-1/2)

Answer 1

В условии пропущено слово бесконечно УБЫВАЮЩАЯ.
Сумма бесконечно убывающей прогрессии находится по формуле:
S=b₁/(1-q)
Второй член геометрической прогрессии находится по формуле:
b₂=b₁·q
Подставляем числовые данные
8/5=b₁/(1-q);
(-1/2)=b₁·q.

Система двух уравнений с двумя неизвестными

8(1-q)=5b₁    ⇒b₁ =8(1-q)/5
2b₁q=-1

2·(8(1-q)/5)·q= - 1

16q²-16q-5=0
D=(-16)²-4·16·(-5)=16·(16+20)=16·36=(4·6)²=24²
q=(16-24)/32=-1/4    или      q=(16+24)/32=5/4 - не удовлетворяет условию.
b₃=b₂·q=(-1/2)·(-1/4)=1/8
О т в е т. 1/8

Answer 2

Для нахождения третьего члена бесконечной геометрической прогрессии, сумма которой равна \( \frac{8}{5} \), а второй член равен \( -\frac{1}{2} \), мы можем воспользоваться формулой для суммы бесконечной геометрической прогрессии:

\[ S = \frac{a}{1 - r}, \]

где: - \( S \) - сумма бесконечной геометрической прогрессии, - \( a \) - первый член прогрессии, - \( r \) - знаменатель прогрессии.

В данном случае у нас есть сумма \( S = \frac{8}{5} \) и второй член \( a_2 = -\frac{1}{2} \).

Также, мы знаем, что отношение любого члена к предыдущему в геометрической прогрессии равно знаменателю прогрессии (\( r \)). Таким образом, мы можем написать:

\[ r = \frac{a_2}{a_1} \]

где \( a_1 \) - первый член прогрессии.

Теперь мы можем подставить известные значения и решить уравнения:

\[ r = \frac{-\frac{1}{2}}{a_1} \]

\[ \frac{8}{5} = \frac{a_1}{1 - r} \]

Мы можем использовать второе уравнение для нахождения \( a_1 \) и затем подставить его в первое уравнение для нахождения \( r \).

1. Находим \( a_1 \):

\[ \frac{8}{5} = \frac{a_1}{1 + \frac{1}{2}} \]

Умножаем обе стороны на \( \frac{3}{2} \):

\[ \frac{8}{5} \cdot \frac{3}{2} = a_1 \]

\[ a_1 = \frac{12}{5} \]

2. Находим \( r \):

\[ r = \frac{-\frac{1}{2}}{\frac{12}{5}} \]

Умножаем числитель и знаменатель на 2:

\[ r = \frac{-1}{\frac{6}{5}} \]

\[ r = -\frac{5}{6} \]

Таким образом, первый член \( a_1 = \frac{12}{5} \) и знаменатель \( r = -\frac{5}{6} \).

3. Находим третий член \( a_3 \):

Мы можем воспользоваться формулой для \( a_n \) в геометрической прогрессии:

\[ a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)} \]

В данном случае, \( n = 3 \):

\[ a_3 = \frac{12}{5} \cdot \left(-\frac{5}{6}\right)^2 \]

\[ a_3 = \frac{12}{5} \cdot \frac{25}{36} \]

\[ a_3 = \frac{5}{2} \cdot \frac{5}{3} \]

\[ a_3 = \frac{25}{3} \]

Таким образом, третий член бесконечной геометрической прогрессии равен \( \frac{25}{3} \).